Aniq integralni taqribiy hisoblash

4

0

. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqning  uzunligini

hisoblash. 

Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida quyidagi  

)

(

,

)

(

















r

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 

]

,

[

)

(









C



  bo`lib,  u  uzluksiz 

)

(







hosilaga ega bo`lsin. 

Қutb  koordinatalari 

)

,

(





  dan  Dekart  koordinatalari 

)

,

(

y

x

  ga  o`tish 

formulasiga binoan  

)

(

sin

)

(

,

cos

)

(































y

x

bo`ladi. Natijada 

B

A



 parametrik ko`rinishda 

)

(

sin

)

(

)

(

,

cos

)

(

)

(







































berilgan  egri  chiziq  sifatida  ifodalanadi,  bunda 

 









),

(

    funksiyalari  3

0

  da

keltirilgan shartlarni bajaradigan funksiyalar bo`ladi. 

(5) formuladan foydalanib 

B

A



 egri chiziqning uzunli-gini topamiz: 





































d

B

A

2

2

)

sin

)

(

(

)

cos

)

(

(

)

(



.

)

(

)

(

2

2























d

 

Bu formula yordamida egri chiziqning uzunligi hisoblanadi. 

3-misol. Ushbu 

3

3





Sin

a





tenglama bilan berilgan egri chiziqning uzunligi topilsin. 

◄ 



  o`zgaruvchi  0  dan 



3

  gacha  o`zgargandan 

)

,

(





  nuqta 

18-

chizmada tasvirlangan  

l

 

egri chiziqni chizib chiqadi: 

(2) formuladan foydalanib 

l

 chiziqning uzunligini topamiz: 























3

0

2

3

2

3

)

3

sin

(

)

3

sin

(

)

(

d

a

a

l





















3

0

6

2

2

4

2

3

sin

3

cos

3

sin

d

a

a

 

.

2

3

3

sin

3

0

2

a

d

a















► 

5

0

. Yoy differensiali. Aytaylik, tekislikdagi 

B

A



 egri chiziq ushbu 

)

(

)

(

,

)

(























t

t

y

t

x

 

tenglamalar  sistemasi  bilan  berilgan  bo`lib,  bunda 

)

(t



  hamda 

)

(t



  funksiyalari 

]

,

[





 da uzluksiz 

)

(t





 hamda 

)

(t





  hosilalarga ega bo`lsin  (19-chizma)  

Ma’lumki, 

t

  o`zgaruvchining 





t

  qiymatiga 

B

A



  egri  chiziqda 

A

  nuqta 

mos keladi. 

Endi  ixtiyoriy 

]

,

[







t

  ni  olib,  unga  mos 

B

A



  egri  chiziqdagi  nuqtani 

C

bilan belgilaylik: 

.

,

))

(

,

)

(

(













t

t

t

С

 

Ravshanki, 

C

A



 yoyining uzunligi 

C

 nuqtaning 

B

A



 egri chiziqdagi holatiga 

qarab  o`zgaradi  va  ayni  paytda 

t

  ning  har  bir  tayin  qiymatida  yagona 

C

A



yoyining  uzunligiga  ega  bo`lamiz.  Binobarin 

C

A



  yoyining  uzunligi 

t

C

A )

(





o`zgaruv-chining funksiyasi bo`ladi: 

)

(

)

(











t

C

A

t



 

(5) formuladan foydalanib topamiz: 











t

t

dt

t

t

C

A









.

)

(

)

(

)

(

2

2



 

Modomiki, 

]

,

[

)

(

)

(

2

2









C

t

t









  ekan,  unda 

)

( C

A

t





      funksiya 

hosilaga ega bo`lib, 

)

(

)

(

)

)

(

(

2

2

t

t

C

A

t



















bo`ladi. 

Keyingi tenglikning kvadratini 

2

dt

 ga ko`paytirib, ushbu 

,

)

(

)

(

)

)

(

(

2

2

2

2

2

2

dt

t

dt

t

dt

C

A

t





















 

ya’ni 

2

2

2

)

)

(

(

dy

dx

C

A

d

t









