Aniq integralni taqribiy hisoblash
Download 1.09 Mb. Pdf ko'rish
|
aniq integralni taqribiy hisoblash va uning tadbiqlari
|
Yetarliligi. Aytaylik, ) ( Q A A va ) (
Q B to`g`ri ko`pburchaklar uchun ) ( ) ( A B tengsizligi bajarilsin. Ravshanki, . } ) ( inf{ ) ( , )} ( sup{ ) (
B A A Bu munosabatlardan
) ( ) ( )} ( sup{ )} ( inf{ A B A B
bo`lishini topamiz. -ixtiyoriy musbat son bo`lganligidan )} (
)} ( sup{ B A
bo`lishi kelib chikadi. Demak, Q shakl yuzaga ega. ► Shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
yuzaga ega bo`lishi uchun 0
son olinganda ham shunday yuzaga ega tekis shakllar
va
S lar
) , ( S Q Q P topilib, ular uchun
) ( ) ( P S tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 2 0 . Egri chizikli trapetsiyaning yuzini hisoblash. Faraz qilaylik, ] , [ ) ( b a C x f bo`lib, ] , [ b a x da 0 ) (
f bo`lsin. Yuqoridan ) (x f funksiya grafigi, yon tomonlardan b x a x , vertikal chiziqlar hamda pastdan absissa o`qi bilan chegaralangan
shaklni qaraylik. (10- chizma)
10-chizma Odatda, bu shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi. ] ,
b a segmentni ixtiyoriy ) ...
( } ,..., , , { 2 1 0 2 1 0 b x x x x a x x x x P n n
bo`laklashni olamiz. Bu bo`laklashning har bir ] , [ 1 k k x x oralig`ida
)} ( sup{ , )} ( inf{
) 1 ,..., 2 , 1 , 0 (
k mavjud bo`ladi. Endi asosi
1 , balandligi k m bo`lgan ) 1
2 , 1 , 0 (
k to`g`ri to`rtburchaklarning birlashmasidan tash-kil topgan to`g`ri ko`pburchakni
deylik. Shuningdek, asosi
k k k x x x 1 , balandligi k M
bo`lgan ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 (
k to`g`ri to`rtburchaklarning birlashmasidan tashkil topgan to`g`ri ko`pburchakni
deylik. Ravshanki, B Q Q A ,
bo`lib, ularning yuzalari 1 0 1 0 ) ( , ) ( n k n k k k k k x M B x m A bo`ladi. Bu yig`indilarni ) (x f funksiyaning ] ,
b a segmentining P bo`laklashiga nisbatan Darbuning quyi hamda yuqori yig`indilari ekanini payqash qiyin emas: ). ; ( ) ( , ) ; ( ) ( P f S B P f s A
] , [ ) (
a C x f bo`lgani uchun ) (x f funksiya ] ,
b a da integralla-nuvchi bo`ladi. Unda integrallanuvchilik mezoniga ko`ra, 0 olinganda ham ] , [ b a
segmentning shunday P bo`laklashi topiladiki,
) ; ( ) ; ( P f s P f S
bo`ladi. Birobarin, ushbu ) ( ) ( A B
tengsizlik bajariladi. Bu esa, 1-teoremaga muvofiq, qaralayotgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra )} ( inf{ )} ( sup{ B A
bo`ladi. Ayni paytda,
b a b a dx x f B dx x f A ) ( )} ( inf{ , ) ( )} ( sup{ bo`lganligi sababli Q egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
a dx x f Q ) ( ) ( (1)
ga teng bo`ladi. 1-misol. Tekislikda ushbu 1 2 2 2 2
y a x
ellips bilan chegaralangan Q shaklning yuzi topilsin. ◄Ellips bilan chegaralangan
shaklning yuzi OX va
OY koordinata o`qlari hamda
0 , 1 ) ( 2 2 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzi-ning 4 tasiga teng bo`ladi. (11-chizma ). Unda (1) formuladan foydalanib topamiz: , cos 2 0 , sin 4 1 4 ) ( 0 2 2 0 2 2 tdt a dx t t a x dx x a a b dx a x b Q a a 2 0 2 2 . 4 4 cos
4 ab ab tdt a a b ► Aytaylik, ] , [ ) ( , ] , [ ) ( 2 1 b a C x f b a C x f bo`lib, ] , [ b a x da ) ( ) ( 0 2 1
f x f bo`lsin. Tekislikdagi Q shakl quyidagi b x a x x f y x f y , , ) ( , ) ( 2 1 chiziqlar bilan chegaralangan shaklni ifodalasin (12-chizma) Bu shaklning yuzi b a b a b a dx x f x f dx x f dx x f Q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2
(2) bo`ladi. 2-misol. Tekislikda ushbu x x y x y 2 , 4 2 2
chiziqlar (parabolalar) bilan chegaralangan Q shaklning yuzi topilsin. ◄ Parabolalarning tenglamalari
2 , 4 2 2 ni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalarini topamiz: ). 0
2 ( , ) 3 ; 1 ( : 0 , 3 ; 2 , 1 , 2 4 2 1 2 1 2 2 B A y y x x x x x (13 -chizma). Bu shaklning yuzini (2) formuladan foydalanib hisob-laymiz: . 9 ) 3 2 4 ( 2 2 4 ) 2 ( ) 4 ( ) ( 2 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2
x x dx x x dx x x x Q ► Eslatma. Agar ] , [ ) ( b a C x f funksiya ] , [ b a da ishora saqlamasa, (1) integral egri chiziqli trapetsiyalar yuzalari-ning yig`indisidan iborat bo`ladi. Bunda
o`qining yuqori-sidagi yuza musbat ishora bilan, OX o`qining pastdagi yuza manfiy ishora bilan olinadi. Masalan, OX o`qi hamda 2
, sin
) (
x x f funksiya grafigi bilan chegaralangan shaklning yuzi
4 ) cos ( ) cos ( ) sin ( sin
) ( 2 0 2 0
x xdx x Q
bo`ladi. 3 0 . Egri chiziqli sektorning yuzini hisoblash. Aytaylik, B A egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida ushbu ) , ( , ) ( R R tenglama bilan berilgan bo`lsin. Bunda . 0 ) ( да ] , [ , ] , [ ) ( C
Tekislikda B A egri chiziq hamda OA va
OB radius-vektorlar bilan chegaralangan
shaklni qaraymiz. (14 -chizma). 14- chizma ] ,
segmentni ixtiyoriy ) ...
( } ,..., , { 1 0 1 0
n P bo`laklashini olamiz. O nuqtadan har bir qutb burchagi k ga mos k OA radius- vektor o`tkazamiz. Natijada
-egri chiziq-li sektor
A A A n k A OA n k k , ; 1 ,..., 2 , 1 , 0 0 1 egri chiziqli sektorchalarga ajraladi. Ravshanki, ] , [ ) (
] , [ 1
k da ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( n k )} ( sup{ , )} ( inf{
k k M m
lar mavjud. Endi har bir ] , [ 1 k k
segment uchun radius-vektorlari mos ravishda k m hamda
k M bo`lgan doiraviy sektorlarni hosil qilamiz. Bunday doiraviy sektorlar yuzaga ega bo`lib, ularning yuzi mos ravishda ) ( 2 1 , 2 1 1 2 2
k k k k k k M m bo`ladi. Radius-vektorlari ) 1
2 , 1 , 0 (
k m k bo`lgan barcha doiraviy sektorlar birlashmasidan hosil bo`lgan shaklni 1
desak, unda
1 bo`lib, uning yuzi 1 0 2 1 2 1 ) ( n k k k m Q (3) bo`ladi. Shuningdek, radius-vektorlari ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( n k M k bo`l-gan barcha doiraviy sektorlar birlashmasidan hosil bo`lgan shaklni 2
desak, unda 2
Q bo`lib, uning yuzi 1 0 2 2 2 1 ) (
k k k M Q (4) bo`ladi. (3) va (4) yig`indilar ) ( 2 1 2 funksiyaning Darbu yig`indilari bo`ladi. Ayni paytda, ) ( 2 1 2 funksiya ] , [ da uzluksiz bo`lgani uchun u integrallanuvchidir. Demak, 0 olinganda ham ] , [ segmentning shunday P bo`laklashi topiladiki, ) ); ( 2 1 ( ) ); ( 2 1 ( 2 2 P s P S
bo`ladi. Binobarin, ushbu ) ( ) ( 1 2
Q
tengsizlik bajariladi. Bu esa, 2-teoremaga muvofiq, qaralayotgan egri chiziqli sektorning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra ) ( inf
) ( sup 2 1
Q bo`ladi. Ayni paytda,
, ) ( ) ( sup 2 1 d Q
d Q ) ( ) ( inf 2 2
bo`lgani sababli Q egri chiziqli sektorning yuzi
Q ) ( 2 1 ) ( 2
ga teng bo`ladi. Download 1.09 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|