Aniq integralni taqribiy hisoblash

3-misol. Ushbu 

)

2

0

,

(

)

cos

1

(

)

(

























R

a

a

 

funksiya grafigi bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.  

◄ Bu funksiya grafigi kardioidani ifodalaydi. Ma’lumki, kardioida radiusi 

r

 

ga  teng  bo`lgan  aylananing  shu  radiusli  ikkinchi  qo`zg`almas  aylana  bo`ylab 

xarakati (sirpanmasdan dumalashi) natijasida birinchi aylana ixtiyoriy nuqtasining 

chizgan chizig`idir. (15-chizma).   

Kardioida  qutb  o`qiga  nisbatan  simmetrik  bo`lganligi  sababli  yuqori  yarim 

tekislikdagi  shaklning  yuzini  topib,  so`ngra  uni  2  ga  ko`paytirsak,  izlanayotgan 

yuza kelib chiqadi.  



o`zgaruvchi 

]

,

0

[



 da o`zgarganda 



 radius-vektor kardioidaning yuqori

yarim tekislikdagi qismini chizadi. Shuning uchun 































0

2

2

0

2

)

cos

1

(

)

(

2

1

2

)

(

d

a

d

Q

 

2

0

2

0

2

2

3

)

2

sin

2

1

2

1

sin

2

2

3

(

2

cos

2

1

cos

2

2

3

a

a

d

a















































bo`ladi. ► 

Yoy uzunligi va uni hisoblash

1

0

. Yoy  uzunligi  tushunchasi.  Ma’lumki,  tekislikdagi  ikki

)

,

(

1

1

y

x

A

 

va

)

,

(

2

2

y

x

B

  nuqtalarni  birlashtiruvchi  to`g`ri  chiziq  kesmasi 

0

l

  uzunlikka  ega 

va uning uzunligi 

2

1

2

2

1

2

0

)

(

)

(

)

(

y

y

x

x

l











ga teng bo`ladi. 

Aytaylik,  tekislikdagi 

l

  chiziq 

...,

,

)

,

(

),

,

(

1

1

1

0

0

0

y

x

A

y

x

A

)

,

(

n

n

n

y

x

A

    nuqtalarni 

)

(

N

n



  birin-ketin  to`g`ri  chiziq  kesmalari  bilan  birlashtirishidan  hosil  bo`lgan 

bo`lsin. Odatda, bunday chiziq siniq chiziq deyiladi. 

Siniq  chiziq  uzunligi  (perimetri)  deb,  uni  tashkil  etgan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari uzunliklarining yig`indisiga aytiladi: 

.

)

(

)

(

)

(

1

0

2

1

2

1



















n

k

k

k

k

k

y

y

x

x

l



 

Faraz  qilaylik,  tekislikdagi 

B

A



egri  chizig`i    (uni   

B

A



    yoyi  deb  ham 

ataymiz)  ushbu 

)

(

)

(

b

x

a

x

f

y







 

tenglama bilan berilgan bo`lsin, bunda  

]

,

[

)

(

b

a

C

x

f



. 

]

,

[

b

a

   segmentning ixtiyoriy 

b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n













...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

 

bo`laklashni olib, bo`luvchi 

)

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k

x

k



 nuqtalar orqali  

OY

 o`qiga parallel 

to`g`ri  chiziqlar  o`tkazamiz.  Bu  to`g`ri  chiziqlarning 

B

A



yoyi  bilan  kesishgan 

nuqtalari 

)

,

;

,...,

2

,

1

,

0

(

))

(

,

(

0

B

A

A

A

n

k

x

f

x

A

n

k

k

k







bo`ladi. 

B

A



yoyidagi  bu   

))

(

,

(

k

k

k

x

f

x

A

    nuqtalarni  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari yordamida birlashtirib, 

l

 siniq chiziqni hosil qilamiz. (16-chizma) 

Odatda, 

l

  siniq  chiziq   

B

A



yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq  deyiladi.  U 

uzunlikka ega bo`lib, uzunligini (perimetrini)  

)

(l



 deylik. 

Agar 

1

P

  va 

2

P

  lar 

]

,

[

b

a

  segmentning  ikkita  bo`laklashi  bo`lib, 

2

1

P

P



bo`lsa,  u  holda  bu  bo`laklashlarga  mos 

B

A



  yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq 

2

1

, l

l

larning perimetrlari uchun 

)

(

)

(

2

1

l

l







 

bo`ladi. 

◄

]

,

[

b

a

 segmentning 

1

P

 bo`laklashi quyidagi 

)

...

...

(

}

,...,

,

,...,

,

{

1

1

0

1

1

0

1

b

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

P

n

k

k

n

k

k























ko`rinishda bo`lib, 

2

P

 bo`laklash esa 

1

P

 bo`laklashning barcha bo`luvchi nuqtalari 

hamda  qo`shimcha  bitta 

]

,

[

*

b

a

x



  nuqtani  qo`shish  natijasida  hosil  bo`lgan 

bo`laklash  bo`lsin.  Bu 

*

x

  nuqta 

k

x

  hamda 

1



k

x

nuqtalar  orasida  joylashsin: 

.

1









k

k

x

x

x

   Demak, 

}

,...,

,

,

,...,

,

{

1

1

0

2

n

k

k

x

x

x

x

x

x

P







)

...

...

(

1

1

0

b

x

x

x

x

x

x

a

n

k

k























Ravshanki,  

2

1

P

P



  bo`ladi. 

B

A



    yoyiga  chizilgan   

1

P

  bo`laklashga  mos  siniq  chiziq   

1

l

,  shu  yoyga 

chizilgan 

2

P

 bo`laklashga mos siniq chiziq 

2

l

 dan faqatgina bitta bo`lagi bilangina 

farq qiladi: 

1

l

 da 

1



k

k

A

A

  bo`lak bo`lgan holda 

2

l

 da ikkita 

*

A

A

k

 hamda 

1

*



k

A

A

bo`laklar bo`ladi. 

Ammo 

1



k

k

A

A

to`g`ri  chiziq  kesmasining  uzunligi 

)

(

1



k

k

A

A



, 

*

A

A

k

hamda 

1

*



k

A

A

kesmalar  uzunliklari 

)

(

,

)

(

1

*

*



k

k

A

A

A

A





  yig`indisidan  har 

doim katta bo`lmaganligi, ya’ni 

)

(

)

(

)

(

1

*

*

1









k

k

k

k

A

A

A

A

A

A







uchun 

  

)

(

)

(

2

1

l

l







  

bo`ladi. ► 

Demak, 

P

  bo`laklashning  bo`luvchi  nuqtalari  sonini  orttira  borilsa, 

B

A



yoyiga chizilgan ularga mos siniq chiziqlar perimetrlari ham ortib boradi. 

1-ta’rif. Agar  

0



p



 da  

B

A



 yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 























1

0

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l



chekli limitga ega bo`lsa, 

B

A



 yoy uzunlikka ega deyiladi. 

Ushbu 

)

(

)

(

lim

0

B

A

l

P













limit 

B

A



 yoyining uzunligi deyiladi. 

Masalan, agar 

)

(

)

(

b

x

a

C

kx

x

f









 

bo`lsa, unda 

B

A



 ning uzunligi 

















































1

0

2

1

2

0

1

0

2

1

2

2

1

0

)

(

1

)

(

1

lim

)

(

)

(

lim

)

(

n

k

k

k

n

k

k

r

k

k

a

b

k

x

x

k

x

x

k

x

x

B

A

p

P









bo`ladi. 

Aytaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu 

 

 



























t

t

y

t

x

,

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lsin. 

(Bu holda egri chiziq parametrik ko`rinishda berilgan deyiladi). Bunda: 

1)

;

]

,

[

)

(

,

]

,

[

)

(













C

t

C

t





2) 

2

1

2

1

,

]

,

[

,

t

t

t

t











 uchun

   (1) 

))

(

,

)

(

(

)

,

(

,

))

(

,

)

(

(

)

,

(

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

t

t

A

y

x

A

t

t

A

y

x

A













nuktalar turlicha ; 

3)





t

  ga  

A

  nuqta,  





t

  ga 

B

 nuqta mos kelsin.

]

,

[





 segmentning ixtiyoriy 

















n

n

t

t

t

t

t

t

P

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

 

bo`laklashni  olib,  bu  bo`laklashning  bo`luvchi 

)

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k

t

k



  nuqtalariga 

mos  kelgan 

B

A



  yoydagi 

)

,

(

k

k

k

k

y

x

A

A



)

,...,

0

;

)

(

,

)

(

(

n

k

t

y

t

x

k

k

k

k











 

nuqtalarni bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmalari yordamida birlashtirib, 

B

A



 yoyga 

chizilgan siniq chiziq  

l

 ni hosil qilamiz.   (17-chizma). 

Bu siniq chiziq perimetri 



















1

0

2

1

2

1

)]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

)

(

n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l











bo`ladi. 

2-ta’rif. Agar 

0



p



 da 

B

A



  yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 

)

(l



 

chekli limitga ega bo`lsa, 

B

A



 yoy uzunlikka ega deyiladi. 

Ushbu 

)

(

)

(

lim

0

B

A

l

p













 

limit  

B

A



 yoyining uzunligi deyiladi. 

Yuqorida keltirilgan ta’riflardan yoy uzunligining    ( agar u mavjud bo`lsa ) 

musbat bo`lishi kelib chiqadi. 

Endi yoy uzunligining ikkita xossasini isbotsiz keltiramiz: 

1) Agar 

B

A



 yoyi uzunlikka ega bo`lib, u 

B

A



 yoydagi nuqtalar yordamida 

n

  ta 

1



k

k

A

A



  yoylarga 

;

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k



 

)

,

1

0







n

A

B

A

A

  ajralgan  bo`lsa,  u  holda 

har bir 

1



k

k

A

A



 yoy uzunlikka ega va 

   









n

k

k

k

A

A

B

A

0

1

)

(

)

(









 

bo`ladi. 

2) Agar 

B

A



 yoyi 

n

 ta 

1



k

k

A

A



 yoylarga ajralgan bo`lib, har bir 

1



k

k

A

A



 yoy 

uzunlikka ega bo`lsa, u holda 

B

A



 yoyi ham uzunlikka ega bo`ladi.