Aniq va tabiiy fanlar metodikasi

2. Parametrga bog’liq tenglamalarni yechish usullari
Malaka ishining ushbu paragrafida parametrga bog’liq ba’zi bir algebraik tenglamalarni yechish usullari o’rganiladi.
Bu turdagi tenglamalarni yechishdagi murakkab tomoni shundaki, uning yechimlarini parametrning funksiyasi sifatida qarash kerak.
Parametrga bog’liq tenglamalarni yechishda quyidagi usullardan foydalanish mumkin.[6]
Bu tenglamaning umumiy ko’rinishini quyidagicha yozish mumkin:
, (2.1)
bu yerda a – parametr, x – esa noma’lum.
(2.1) tenglamani yechishda birinchi usulda esa tenglama yechishdan oldin uni parametr a ga nisbatan yechib olamiz, ya’ni
(2.2)
yoki
(2.3)
Ba’zi hollarda bu ikki usulning kombinatsiyasidan foydalanish ko’proq effekt beradi.
Endi mana shu usullardan foydalanib bir qator misollarni chuqur tahlil qilgan holda yechib o’rganamiz.
Misol. Ushbu parametrga bog’liq tenglamani
(2.4)
tenglamani x ga nisbatan yeching.
Bu (2.4) tenglama parametr a ning qanday qiymatlarida musbat yechimga, manfiy yechimga, tub yechimga, cheksiz yechimga ega bo’ladi yoki birorta ham yechimga ega bo’lmaydi.
Bu tenglamani (2.2) ko’rinishdagidek x ga nisbatan yechib olamiz.
(2.5)
bu yerda deb olamiz. (2.5) tenglikdan ko’rinib turibdiki x, argumentning funksiyasi deb qarash mumkin.
(2.6)
(2.6) tenglama o’ng tomondagi kasr maxrajining nollarini hisoblaymiz.

yoki a=2 yoki a=3.
a=2 qiymatda esa surat ham nolga aylanadi, shu sababli parametr a ning (a=2) qiymatida (2.4) tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
Agar , bo’lsa, u holda
(2.7)
bu tenglama a=3 qiymatda (1) tenglama yechimga ega bo’ladi.
a+2=0 yoki a=-2 qiymatda (1) tenglama nol yechimga ega bo’ladi.
Parametr a ning aniq chegaralarini aniqlash uchun (2.7) funksiyaning grafigini chizamiz.
Chizma – 2.1

Chizma – 2.1 dan ko’rininb turibdiki,

va funksiyalarda,


Demak, (1) tenglama a<-2 va a>3 da musbat yechimga, -2da esa manfiy yechimga ega bo’lar ekan.[9]
Endi esa parametrga bog’liq kvadrat tenglamaga doir bitta qaraymiz.
Ushbu kvadrat tenglamani yeching
(2.8)
Bu tenglama a parametrning qanday qiymatlarida

1. 
   musbat yechimga;
   
2. 
   manfiy yechimga;
   
3. 
   bitta musbat va bitta manfiy yechimga;
   
4. 
   umuman ildizga ega bo’lmaydi?
   

Bu misolni yuqorida keltirib o’tilgan ikki xil usulda yechish mumkin.

1. 
   avvalo (2.8) tenglamani x ga nisbatan yechib olib, uni x ning funksiyasi sifatida qaraymiz. Bu holda tenglamani x ga nisbatan yechmasdan javob olish mumkin.
   

Endi bu usullarni alohida – alohida keltirib o’tamiz.
1-usul. (2.8) tenglamani x ga nisbatab yechib olamiz
,

Diskreminantni alohida hisoblab olamiz

Agar D=0 bo’lsa,

, kvadrat tenglama esa a₁=6, a₂=14 ildizlarga ega. Demak, a=6 qiymatida tenglama

va a=14 qiymatda esa

ildizlarga ega bo’ladi.
Agar D<0 bo’lsa, ya’ni ­6bo’lsa, (2.8) tenglama yechimga ega bo’lmaydi.
Agar D>0 bo’lsa, ya’ni a<6 va a>14 bo’lsa, u holda tenglama ikkita har xil yechimga ega bo’ladi.
Berilgan tenglama ildizlarining har ikkalasi ham musbat x₁>0, x₂>0 bo’lishi uchun parametr a quyidagi sistemani qanoatlantirishi kerak.
(2.9)
Bu tengsizliklar sistemasidan ko’rinib turibdiki uning ikkalasi tengsizlikdagi uchinchisining natijasi hisoblanadi. Shu sababli (2.9) sistema ushbu sistemaga ekvivalent.
(2.10)
Bu (2.10) tengsizliklar sistemasining ikkinchisini yechsak

yoki
(2.11)
Oxirgi tengsizlikning o’ng tomoni musbat bo’lgani uchun
2-a>0 yoki a<2.
Agar a<2 bo’lsa, u holda (2.11) ning har ikkala tomonini kvadratga oshiramiz.

yoki

Demak, (2.9) tengsizliklar sistemasi yechimga ega emas, o’z navbatida, (2.8) tenglama ikkita har xil musbat yechimga ega emas.
Xuddi shundan ikkita har xil manfiy x₁<0, x₂<0 ildizga ega bo’lish shartini topamiz. Buning uchun a parametr ushbu tengsizliklar sistemasini qanoatlantirishi kerak.
(2.12)
Bu sistemadagi ham uchinchi tengsizlik ikkinchidan kelib chiqadi. Shu sababli birinchi ikkitasini yechish kerak.
(2.13)
Bu sistemaning ikkinchi tengsizligini yechsak.
(2.14)
(2.14) ning chap tomoni musbat bo’lgani uchun, uning har ikkala tomonini kvadratga oshiramiz, a-2>0 hisobga olsak.
a>2 yoki 2va a>14 u holda

yoki

Demak,

U holda
yoki .
Umuman, agar yoki bo’lsa tenglama ikkita har xil manfiy x₁<0, x₂<0 ildizga ega bo’ladi.
Yuqoridagilarni umumlashtirsak.
a ning qiymatlari
2-usul. Endi mana shu yuqoridagi (2.4) misolni ikkinchi usulda ishlaymiz.
Berilgan tenglamani a parametrga nisbatan yechamiz.[10]
(2.15)
Bu ifodani a ning x argument funksiyasi sifatida qarab aniqlanish sohasini topamiz.

(2.15) funksiyaning ekstremum nuqtalarini toppish uchun quyidagicha shakl almashtiramiz.

yoki bu funksiyadan x bo’yicha hosila olsak

Olingan hosilaning nollarini topamiz
x₁=0,5 va x₂=-1,5.
Ushbu limitlarni hisoblaymiz

Funksiyaning kritik nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
.
Bu topilgan fuksiya qiymatlariga asoslanib uning grafigini chizamiz.

Chizma – 2.2

Funksiya grafigiga asoslanib quyidagicha xulosalar yasaymiz.

1. 
   agar a=14, u holda
   

x₁= x₂=-1,5
bir-biriga teng ikkita haqiqiy ildizga ega;

2. 
   agar a>14, u holda x₁<0, x₂<0 har ikkala yechim ham manfiy;
   
3. 
   agar 6, u holda tenglama haqiqiy yechimga ega emas;
   
4. 
   agar a=6, u holda ham bir-biriga teng va manfiy yechimga x₁= x₂=-0,5 ega;
   
5. 
   agar 5, u holda ham har ikkala yechim manfiy;
   
6. 
   agar a=5, u holda bitta yechim nol x₂=0, ikkinchisi x₁<0 manfiy bo’ladi;
   
7. 
   agar a<5, u holda yechimlari har xil ishorali x₁<0 va x₂>0 bo’ladi.