Aniq va tabiiy fanlar metodikasi

Malaka ishining vazifasi:
Maktab, Kasb-hunar kolleji va akademik litseylarda matematika fani yuzasidan talim jarayonining tashkil etilishini tahlil qilish.
Malaka ishining maqsadi:
Parametr va o’zgaruvchi qatnashgan tenglama va tengsizliklarni o’quvchilar tomonidan puxta o’zlashtirishlari uchun va o’quvchilarning parametr tushunchasiga oid tasavurlarini shakllantirish, hamda bunday masalalarni yechish usullarini berish, o’qitish jarayondagi samarodorligini oshirish usullarini ishlab chiqish.
Malaka ishi kirish qism, beshta paragraf va xulosadan iborat. Birinchi paragrafda parametrga bog’liq teng kuchli tenglama haqida tushuncha berilib bir ikkita misol ham yechib ko’rsatilgan. Ikkinchi paragrafda bir maromli tenglamalarni yechish o’rganilgan bo’lsa, uchinchi paragrafda ikki parametrli tenglamalarga doir misollardan yechib ko’rsatilgan. Har bir misol bir nechta usulda yechib ko’rsatilgan hamda natijalar tahlil qilingan. To’rtinchi paragrafda esa parametrga bog’liq tengsizliklarga doir misollar yechib o’rganilgan. Bir misol ikki usulda, ya’ni intervallar usuli hamda grafik usulda yechib ko’rsatigan. Ular tahlil qilinib, ba’zi hollarda grafik usulining afzalliklari ko’rsatilib o’tilgan.
1. Parametrga bog’liq teng kuchli tenglamalar haqida tushuncha
Malaka ishining ushbu dastlabki paragrafida parametrga bog’liq teng kuchli tenglamalar haqidagi tushunchalar keltirilib, unga doir bir qancha misollar yechiladi.
Avvalo parametrga bog’liq teng kuchli tenglama ta’rifini keltiramiz.
Ta’rif: Agar parametrga bog’liq bo’lgan ikkita tenglama berilgan bo’lib, ulardagi parametrlarning qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlarda bu tenglamalar bir xil yechimga ega bo’lsa, u holda bu tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.[8]
Tenglamalar teng kuchliligini saqlaydigan quyidagi mulohazalar o’rinli.

1. 
   Agar
   

(1.1)
bitta parametrli tenglama berilgan bo’lib (bu yerda a – parametr, x – esa noma’lum), funksiyaning aniqlanish sohasi va a parametrning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar to’plami va funksiyalarning mos aniqlanish sohalarini o’z ichiga olsa, u holda (1.1) tenglama

tenglamaga teng kuchli bo’ladi.
2. funksiya uchun 1-mulohazadagi shartlardan tashqari (a ning barcha qiymatlarida) munosabat bajarilsa, u holda (1.1) tenglama
(1.2)
tenglamaga teng kuchli bo’ladi.

3. (1.1) tenglama

tenglamaga teng kuchli bo’ladi.

Agar munosabat bajarilmasa, (1.2) tenglama (1.1) tenglamaga teng kuchli emas, balki (1.1) tenglamaning har qanday yechimi (1.2) ning ham yechimi bo’ladi, lekin (1.2) ning yechimi (1.1) ning yechimi bo’lmasligi mumkin.
Yuqoridagi mulohazalar tenglamadagi parametrlar soni ikki va undan ortiq bo’lsa ham o’rinli bo’ladi.
Quyida biz bitta lemmadan foydalanib, ba’zi parametrli tenglamalarni unga teng kuchli bo’lgan soddaroq tenglamalar bilan almashtirish va ularni yechish haqida o’z tavsiyamizni beramiz.[12]
Lemma. Agar funksiya o’suvchi bo’lsa, u holda
(1.3)
va
(1.4)
tenglamaga teng kuchli bo’ladi.
Bu lemmaga asosan
(1.5)
va
(1.6)
hamda a>1 shartda a^x=x va tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
(1.3) va (1.4) tenglamalar uchun yuqoridagi lemmani yana bir marta qo’llasak, (1.3) va (1.4)
(1.7)
tenglamalarning teng kuchliligi kelib chiqadi. Demak,
(1.8)


tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
Xuddi shuningdek, a>1 bo’lganda
, (1.9)
,

tenglamalar ham teng kuchlidir.
Parametrli tenglamalarni yechish ancha murakkabligini e’tiborga olib, (1.6) (demak, (1.5) va (1.8)) tenglama yechimini topamiz.

Berilgan tenglamaning to’liq yechimini topish uchun x₁ va x₂ qiymatlar uchun
1) 2)
3) 4)
shartlar o’rinli bo’lishini tekshirish kerak.
1) tengsizlik shartda bajariladi.
2) yoki . Bu tengsizlik ham shartda o’rinli bo’ladi. Demak, x₁ qiymat shartda yechim bo’ladi.
3) yoki . Bundan tengsizlik bajarilsa, 3-shart ham bajariladi.
4) yoki . Oxirgi tengsizlik shartda o’rinli bo’ladi, chunki tengsizlikdan foydalanib, uni tengsizlikka teng kuchliligini hosil qilamiz.
Demak, da yechim yo’q;
da x₁ va x₂ lar yechim;
da x₁ yechim bo’ladi.
a parametrning qiymatlariga bog’liq holda (1.9) tenglamaning yechimlari
1) shartda 2ta; 2) shartda 1ta;
3) shartda mavjud emasligi [2] da to’liq ko’rsatilgan ([2] da (1.9) tenglamaning yechimi haqida shartda ham to’liq ma’lumotlar berilgan ).
Demak, yuqoridagi lemma shartini qanoatlantiruvchi funksiya bilan bog’liq bo’lgan teng kuchli tenglamalardan soddasini yechish bilan chegaralanish imkoniyati mavjud.
Masalan,



tenglamalar ham teng kuchli bo’ladi.