Aniqmas integrallarni hisoblash
Hisoblash xatosi va yaqinlashish
Download 465.5 Kb.
|
integral
|
2. Hisoblash xatosi va yaqinlashish. Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini h>0 qadamli turda hisoblash uchun
(12.6) formula tanlangan bo`lsin. Bu formula bilan hisoblashda ул+1 ni topish uchun yn, yn-1, ..., уп-p va f ning т = т(п) ta qiymatlari ma`lum deb qaraymiz. Agar bu formulada taqribiy qiymat yn+1o`rniga aniq qiymat y(xn +1) ni qo`ysak, tenglik bajarilmaydi va tenglik o`rinli bo`lishi uchun (12.5) ning o`ng tomoniga formulaning xatosi deb ataluvchi qo`shimcha rп hadni qo`shish kerak: (12.6) Odatda hisoblashlar yaxlitlash bilan bajariladi. Shuning uchun ham n- qadamdagi yaxlitlash xatosini - orqali belgilasak (12.5) formula o`rniga ushbu (12.7) hisoblash formulasiga ega bo`lamiz. Bundan keyingi asosiy vazifamiz ук taqribiy qiymatning xatosini o`rganishdan iboratdir. Buning uchun (12.7) ni (12.6) dan ayirib, xato uchun (12.8) o`zgarmas koeffisiyentli bir jinsli bo`lmagan chekli-ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Biz bundagi ук(к = ) taqribiy qiymatlarning xatolari yк(к = ) ma`lum deb qaraymiz. Qolgan barcha к (к > р) ketma-ket ravishda (12.8) formuladan aniqlanadi. (12.8) da n = p deb olsak p+1 dastlabki к(к = ) va rp + p larning chiziqli kombinatsiyasi sifatida topiladi. Bu natijadan foydalanib va (12.8) da п = р deb olib p+1 ni dastlabki к(к = ) va rp + p larning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi va hokazo. Shunday qilib, (12.8) tenglama yordamida п> р uchun к (к р)va rp + p, , ..., , rn-1 + n-1 larning bir jinsli funksiyasi kabi ifodalanadi: Ko`rinib turibdiki, Г funksiya (12.8) tenglamaga mos (12.10) bir jinsli tenglamaning k= `к(к = ) dastlabki shartlarga mos keluvchi xususiy yechimidir. Haqiqatan ham, (12.9) da barcha j = uchun rj + j = 0 deb olib, bu dastlabki shartlardan foydalansak, п = Г kelib chiqadi. Shuning uchun ham Г funksiya i ning ta`sir yoki Grin funksiyasi deyiladi. Xuddi shunga o`xshash G nolli е0 = ... = p =0 dastlabki shartni qanoatlantiradigan tenglamaning yechimidir. Haqiqitan ham, (12.9) da, е0= ... = p =0 , rj + j = deb olsak, п = G kelib chiqadi. G funksiya ri+ i ozod hadning ta`sir funksiyasi deyiladi. Endi ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, (12.11) tenglama faqat n = i bo`lganda bir jinsli bo`lmagan hamda n < i va n < i uchun bir jinsli tenglama bo`lib, G quyidagi masalaning yechimidir. Bu masala Г ni aniqlaydigan masaladan faqat shu bilan farq qiladiki, bunda n o`q bo`yicha i-р+1 birlikka surilgandir, demak, Bundan foydalanib, п ni quyidagicha yozamiz: (12.12) yoki (12.13) bu yerda (12.14) Ko`rinib turibdiki, Еп(i) (12.10) bir jinsli tenglamaning dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`lib, va Е (п3) lar mos ravishda L(En)= n va L(En)=rп bir jinsli bo`lmagan tenglamalarning nolli Ек = 0(к = ) dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimidir. Endi h 0 da yn(n = ) taqribiy yechimlarning у(хп) aniq yechimga tekis yaqinlashish shartini aniqlaymiz. Buning uchun ular orasidagi masofa sifatida miqdorni olamiz. п, п va rп lar o`zaro bog`liq bo`lmaganliklari sababli, , h 0 da (у, уn) 0 bajarilishi uchu h 0 da maxE(nk) (к =1,2,3) lar nolga intilishlari kerak. Ishni Еп ni o`rganishdan boshlaymiz. Agar dastlabki xatolar k(к< р) absolyut qiymatlari bo`yicha chegaralagan bo`lsa, u holda (12.14) ga ko`ra baho kelib chiqadi. Faraz qilaylik, (12.5) formula o`zgarmas y ni aniq integrallasin va f = 0 bo`lsin. U holda bu formulaning koeffisiyentlari shartni qanoatlantirishi kerak. Bu esa n = 1 bir jinsli L( n)=0 tenglamaning yechimi ekanini ko`rsatadi. Bundan tashqari, y o`zgarmas va f 0 bo`lgani uchun j =rj = 0 bo`lib, (12.9) dan kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy n uchun n da Еп ning tartibi bilan yig`indining chegaralanganligi uzviy bog`liqdir. Shu munosabat bilan, quyidagi ta`rifni kiritamiz. Ta`rif. Agar shunday M soni topilsaki, bo`lganda barcha п р uchun tengsizlik bajarilsa, u holda (12.5) formula dastlabki qiymatlarning i (i р) xatolariga nisbatan turg`un deyiladi. Endi turg`unlik kriteriysini keltiramiz. Download 465.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|