Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidasi

Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidasi

Agar da va funksiyalar cheksiz kichik miqdorlar ya’ni, bo’lsa, u holda ularning nisbati da ko’rinishdagi aniqmaslik deb ataladi.

Agar da va funnksiyalar cheksiz katta miqdorlar bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u holda nisbat da ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi.
Berilgan yoki ko’rinishdagi aniqmaslikning dagi limitini topish shu aniqmaslikni ochish deyiladi.
Lopitalning birinchi qoidasi. va funksiyalar nuqta atrofida aniqlangan, diferensiyallanuvchi va bo’lsin. Bundan tashqari va funksiyalar shartda cheksiz kichik miqdorlar bo’lsin, ya’ni
,
tengliklar bajarilsin. Bu holda, agar mavjud bo’lsa, u holda ham mavjud bo’lib,

tenglik o’rinli bo’ladi.
Lopitalning bu qoidalaridan foydalanib, muhim limitlar deb ataluvchi ushbu limitlarni isbotlash qiyin emas.
1. 2. 3.
4.
Lopitalning ikkinchi qoidasi. va funksiyalar nuqta atrofida aniqlangan, differensiyallanuvchi va bo’lsin. Bundan tashqari, va funksyalar shartda cheksiz katta miqdorlar bo’lsin, ya’ni

bo’lsin. Bu holda, agar mavjud bo’lsa, u holda
ham mavjud bo’ladi va quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

Lopitalning birinchi yoki ikkinchi qoidasidagi nisbat da yana yoki ko’rinishdagi aniqmasliklardan iborat bo’lib, va hosilalar yana Lopitalning birinchi va ikkinchi qoidalari shartlarini qanoatlantirsa, hamda

mavjud bo’lsa, u holda, quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

Shunday qilib, aniqmaslikni ochish uchun Lopital qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash mumkin ekan. Buning uchun har gal Lopital qoidasi shartlarining bajarilishini tekshirish kerak bo’ladi.
Lopital qoidasiga teskari tasdiq ham doimo o’rinli bo’lmasligi mumkin. Ya’ni
mavjud, ammo mavjud bo’lmasligi mumkin.
Agar , bo’lsa, ko’paytma da ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday aniqmasliklarni ochish uchun ularni
yoki
ko’rinishda yozib, yoki ko’rinishidagi aniqmaslikka keltiriladi va Lopital qoidasi qo’llaniladi.
Agar , bo’lsa, ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun deb belgilaymiz va uning har ikkala tomonini asosga ko’ra logarifim- laymiz. Natijada
ni hosil qilamiz. Bu ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, uni ochishni yuqorida ko’rib o’tdik.
Agar berilgan va funksiyalar uchun yoki , bo’lsa, u holda ifoda da yoki ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday ko’rinishdagi aniqmasliklar yuqorida ko’rinishdagi aniqmasliklar uchun ko’rib o’tilgan usulda ochiladi.
Agar berilgan va funksiyalar uchun , bo’lsa, u holda, ayirma da ko’rinishdagi aniqmaslik deb ataladi. Bunday aniqmasliklarni ochish uchun ularni

ko’rinishda yoziladi. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin.
1-hol.
Bu holda,

ifodani da sartli ravishda ko’rinishda deb qarash mumkin va shu sababli

2-hol.
Bu holda, ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik bo’ladi va uni yuqorida ko’rilgan usulda ochish mumkin.
Umuman olganda
kabi yoziladigan aniqmasliklar mavjud bo’lib, ular Lopital qoidasidan va ba’zi bir qo’shimcha formulalardan foydalanib ochiladi.