Anomalous solute transport in complex media Abstract

200
| H. G. Sun et al.
3 Several successful application areas of fractional
derivative diffusion equation models
3.1 Solute transport in aquifers
Solute transport in aquifers is one of the important research topics of groundwater hy-
drology and environmental sciences. Due to the complex internal architecture of nat-
ural aquifers, the hydraulic permeability can be non-uniform and anisotropic, which
challenges the applicability of Fick’s law, which assumes homogeneous media. Classi-
cal differential equation models based on Fick’s law cannot reliably capture real-world
dynamics. Therefore, the study of anomalous or non-Fickian diffusion in aquifers with
multi-scale physical and chemical heterogeneity is practically important.
The fractional diffusion equation model has been applied to analyze solute trans-
port in various aquifers since 1998 [1]. Though it is not the first non-local transport
model to characterize solute transport in complex media, the last two decades have
witnessed dramatic progress in the method by the fractional derivative model. Ben-
son et al. [2] used a one-dimensional fractional-order advection-dispersion equation
model to analyze the migration of bromide ions in a fractured aquifer. Cushman and
Ginn [7] found that the spatial fractional diffusion equation model with constant pa-
rameters is a special case of the non-local dispersive constitutive theory. Schumer et al.
[16] applied the generalized Taylor series expansion to build the one-dimensional spa-
tial fractional convection-dispersion equation model with constant parameters. The
follow-up study by Schumer et al. [17] built the fractal mobile-immobile fractional dif-
fusion model, by replacing the single mass transfer rate by a power-law memory func-
tion in the traditional mobile-immobile zone model. Huang et al. [11] employed the
space-fractional derivative, one-dimensional advection-dispersion model to describe
the migration of pollutants in fractured soil. Zhang et al. [30] reviewed previous appli-
cations of space- and time-fractional diffusion models, and identified the appropriate
fractional derivative models for laboratory and field experimental data for contam-
inant transport. Multi-dimensional fractional derivative models were also developed
and applied for mixed sub- and superdiffusion with direction-dependent scaling rates
along arbitrary directions in real-world porous and fractured media [28].
Time- and space-dependent and multi-scale solute transport remains the key is-
sue in the research of subsurface solute transport. If we consider the exchange and
phase transition between mobile and immobile phases in porous media, a two-scale
fractional derivative model can be obtained, such as the diffusion equation model
[17]. This model can be regarded as a special case of the distributed-order derivative
diffusion model, and its further expansion is called the tempered fractional deriva-
tive diffusion model [13]. Reeves et al. [15] analyzed the anomalous solute diffusion
behavior in discrete fracture networks by Monte Carlo simulations, and further de-
scribed the resulting transport dynamics using the α-stable statistics. Meanwhile, the

---

Anomalous solute transport in complex media |
201
multi-scale fractional diffusion model can be simulated by the Lagrangian solver [29].
Sun et al. [23] also analyzed the physical mechanism of the variable-order fractional
derivative diffusion model, and further employed it to accurately describe the time-
dependent solute migration process in aquifers.