Anomalous solute transport in complex media Abstract

3.2 Sediment transport
Sediment transport is one historical and challenging topic in hydrology. It is the core
of rock cycles and one of the major mechanisms by which the Earth’s topography is
built. Its investigation mainly focuses on suspended sediment transport and sedimen-
tation. Suspended sediment moving in the vertical direction is mainly determined by
the competition between the downward settling velocity (due to gravity) and the up-
ward motion (caused by turbulent diffusion). The two factors result in the sedimenta-
tion or erosion of the river bed/bank, and also affect the migration of pollutants as well
as the ecological protection of the river. The process of bedload transport can be more
complicated due to the complex velocity field near the river bed and the interaction
between sediment, the open channel, and the (migrating) river bed. In bedload trans-
port, sediment particles may be buried below the active layer of the river bed, or expe-
rience an accelerating movement due to turbulence breaking the sediment cluster. The
complexity of sediment dynamics comes from the complexity of the flow velocity and
the interaction between the river bed and the channel flow. The widely existing multi-
scale mass exchange makes the classical diffusion theory unsuitable to describe the
turbulent diffusion behavior of bedload particles. The fractional derivative, stochas-
tic differential equation model has been applied to analyze sediment transport, and
some valuable results have been obtained.
In the analysis of sediment’s vertical distribution, the diffusion of sediment is gen-
erally treated as normal diffusion, but the existence of turbulence makes the turbulent
diffusion of sediment substantially different from normal diffusion. Previous results
showed that turbulence diffusion is a typical anomalous diffusion behavior, and the
fractional derivative diffusion equation model can accurately describe this type of dif-
fusion process [26]. Based on the turbulent diffusion analysis, Chen et al. [6] proposed
a new vertical distribution formula for sediment concentration by establishing a frac-
tional derivative model associated with the properties of the Mittag-Leffler function.
Comparison between the experimental data and several existing models indicated
that the new formula is attractive since it has fewer model parameters and leads to
accurate descriptions. The parameter sensitivity analysis showed that the fractional
derivative order is the key parameter of the model. The analysis result of experimental
data of several groups showed that the fractional derivative increases with the particle
size. Hence, anomalous diffusion occurs more with fine particles.
Bedload transport is affected by many factors, including the quantity of sediment,
the river bed structure, the flow velocity, and turbulence diffusion, which can cause

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| H. G. Sun et al.
strong path dependency and spatial non-locality for sediment movement. Meanwhile,
the history-dependent and non-local characteristics of fractional derivatives make the
fractional stochastic differential equation model an excellent tool to accurately char-
acterize bedload dynamics. The sediment particle may be blocked or buried by river
bed structures. Hence, using the random motion approach, the probability density
function of the waiting time exhibits obvious power-law tailing characteristics, while
the coarsening and cluster structure of the river bed force part of the sand particles to
experience a dramatically fast movement, causing the non-Gaussian distribution of
sediment jump lengths. Therefore, the fractional derivative is a natural candidate to
quantify the random motion of bedload sediment.
Recently, fractional derivative models are gradually being used to characterize
bedload transport. For example, Hill et al. [10] found experimentally and theoreti-
cally that the random jump distribution function of a single particle is an exponential
function, after assuming that the river bed is composed of uniform particles. How-
ever, the random jump distribution function is a power-law distribution when the
river bed is composed of mixed-size sediment, and the fractional derivative is an excel-
lent tool for this situation. Ganti et al. [9] conducted a numerical simulation research
to investigate the physical model for bedload transport under different conditions.
Their results showed that the random jump distribution is close to the exponential
distribution under the stable flow and near-uniform sand conditions, and the tradi-
tional convection-diffusion equation can well describe the sediment dynamics. How-
ever, since the unstable flow field and mixed particles are usually observed in natu-
ral rivers, the statistical distribution of stochastic motion can be better described by
the power-law distribution. Hence, the fractional derivative model might be a better
model. Bradley et al. [5] applied the spatial fractional convection-diffusion model to
describe the bedload transport in a natural river under instantaneous source condi-
tion. Their simulation result showed that the spatial distribution of sediment is close
to the α stable distribution, and the spatial fractional model agrees well with the ex-
perimental data. Zhang et al. [32] considered the influence of the velocity field on ran-
dom motion of bedload transport along sand beds, and then established a fractional
advection-dispersion equation with fewer parameters to accurately describe the com-
plex dynamics for bedload transport in real-world rivers.