Арифметическая и геометрическая прогрессии в повседневной жизни

2. NAZARIY MA'LUMOTLAR


Arifmetik progressiya
Ta'rif. Arifmetik progressiya - ikkinchidan boshlab har bir had bir xil songa qo'shilgan oldingi hadga teng bo'lgan ketma-ketlikdir. Bu raqam arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi. Har bir arifmetik progressiya: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... va quyidagi bilan belgilanadi: ÷
Arifmetik progressiya xususiyatlari:
n - arifmetik progressiyaning (umumiy) a'zosi:

Arifmetik progressiyaning o'ziga xos xususiyati : arifmetik progressiyaning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingi va keyingi a'zolar orasidagi arifmetik o'rtachaga teng.

Agar arifmetik progressiyaning farqi d> 0 bo'lsa, progressiya ortib borayotgan if deyiladi d<0 - pasayish.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni cheklangan yoki cheksiz bo'lishi mumkin.
Agar arifmetik progressiya n ta a'zodan iborat bo'lsa, uning yig'indisini formula yordamida hisoblash mumkin


yoki


Geometrik progressiya
Ta'rif. Birinchi a'zosi nolga teng bo'lmagan va ikkinchisidan boshlab har bir a'zosi oldingi a'zoning bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilganiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi.
Geometrik progressiya mavjud bo'lgan shartlar :
1) Birinchi had nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki istalgan songa ko'paytirilganda natijada yana nolga erishamiz, uchinchi had uchun yana nol va hokazo. Geometrik progressiyaning yuqoridagi ta'rifiga kirmaydigan nollar ketma-ketligi chiqadi.
2) Progressiya shartlari ko'paytiriladigan son yuqorida ko'rsatilgan sabablarga ko'ra nolga teng bo'lmasligi kerak.
Geometrik progressiya quyidagicha ko'rinadi:
Geometrik progressiyaning xususiyatlari:
Geometrik progressiyaning ta’rifidan kelib chiqadiki, uning istalgan a’zosining oldingisiga nisbati bir xil songa teng, ya’ni bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi va odatda q harfi bilan belgilanadi.
_{n )} o‘rnatish uchun uning birinchi hadini va maxrajini bilish kifoya .
Agar ketma-ketlikning har bir keyingi a'zosi oldingisidan kattaroq (kamroq) bo'lsa, ketma-ketlik ortib boruvchi (kamayuvchi) deb ataladi. Shunday qilib, agar q > 0 bo'lsa, progressiya monotonik ketma-ketlikdir.
Biroq, agar q = 1 bo'lsa, progressiyaning barcha a'zolari tengdir. Bunday holda, progressiya doimiy ketma-ketlikdir.
Har qanday geometrik progressiya ma'lum bir xarakterli xususiyatga ega. Bu xossa geometrik progressiyani belgilash qoidasining oqibatidir: ketma- ketlik (b _n ) geometrik progressiya bo‘ladi, agar uning har bir a’zosi ikkinchisidan boshlab, unga tutashgan a’zolarning o‘rta geometrik qiymati bo‘lsagina. Ushbu xususiyatdan foydalanib, agar ikkita qo'shnisi ma'lum bo'lsa, geometrik progressiyaning istalgan a'zosini topishingiz mumkin.
Geometrik progressiyaning n-chi a'zosini topish uchun quyidagi formula mavjud: .
Geometrik progressiya a'zolarining yig'indisini topish uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

Geometrik progressiyaning yana bir xossasi bor, ya’ni: geometrik progressiyaning maxrajining ta’rifidan kelib chiqadiki, ya’ni progressiya uchlaridan teng masofada joylashgan hadlar ko‘paytmasi o‘zgarmas qiymatdir.

1.