Arnawli bilimlendiriw ministrligi

Toliq differencialli ten`leme boliw belgisi. To`mendegi tastiyqlaw orinli.

1 – teorema. Eger M(x,y) ha`m N(x,y) funkciyalari bazibir bir baylanisli D oblastinda o`zinin` ha`m dara tuwindilari menen birge u`ziliksiz bolsa, onda (1) ten`leme toliq differencialli ten`leme boliwi ushin

(5)

birdeyliginin` orinlaniwi za`ru`r ha`m jetkilikli.

Da`lilleniwi. Za`ru`rligi. Meyli, (1) ten`leme toliq differencialli ten`leme bolsin. Sonda oni to`mendegi tu`rde jaziwg`a boladi:

Bunnan

(6)

ten`likleri kelip shig`adi.

Bul ten`liklerdin` birinshisin y boyinsha, al ekinshisin x boyinsha differenciallaymiz. Sonda

(7)

Sha`rt boyinsha ha`m dara tuwindilari D oblastinda u`ziliksiz funkciyalar bolg`anliqtan, ha`m aralas tuwindilari da u`ziliksiz boladi. Bunnan aralas tuwindilardin` ten`ligi haqqindag`i teoremag`a ko`re,

boladi. Demek, (7) ten`liklerinin` on` jaqlari da o`zara ten` boladi, yag`niy

Jetkilikligi. Meyli, (1) ten`leme ushin teoremanin` (5) sha`rti orinlansin. Sonday U = U(x,y) funkciyasi bar bolip,

M(x,y) + N(x,y) = dU(x,y)

birdeyliginin` orinlanatug`inin da`lilleymiz. Izlengen U(x,y) funkciyasin

(8)

tu`rinde izleymiz, bunda – bul y ten g`a`rezli bolg`an aniq emes funkciya. Sonda

(9)

Endi funkciyasin (5) sha`rt orinlang`anda

(10)

ten`ligi, yag`niy

yamasa

ten`ligi orinlanatug`inday etip tan`lap alamiz. Endi (5) sha`rtin paydalanip, son`g`i ten`likti to`mendegi tu`rde jazamiz.

Integrallawdi orinlap, to`mendegige iye bolamiz:

N(x,y) – N(x₀,y) +

bunnan

demek,

(11)

bunda, C₁ – erikli turaqli.

Bul tabilg`an (11) an`latpani (8) formulag`a qoyip, izlengen U(x,y) funkciyasin alamiz:

U(x,y) = (12)

Bunnan

M(x,y) = N(x,y) =

eki ten`like iye bolamiz. Al, bul

M(x,y)dx + N(x,y)dy = + = dU(x,y)

ten`liklerin aliw ushin jetkilikli boladi.

(12) funkciyalarinin` birewin, basqasha aytqanda, C<sub>1</sub> = 0 bolatug`inin alip ha`m oni C erikli turaqlig`a ten`lestirip, (1) ten`lemenin` uliwma sheshimin to`mendegi tu`rde alamiz:

Eger U(x,y) funkciyasin du`zgende (6) ten`liklerinin` ekinshisin esapqa alip shiqsaq, onda uliwma sheshim ushin

an`latpasina iye bolamiz.

Bul (13) ha`m (14) formulalarda integrallawdin` to`mengi x<sub>0</sub> ha`m y₀ shegaralarin qarastirip atirg`an bir baylanisli D oblastinin` sheklerinde erkli tu`rde, biraq aling`an integrallar ma`niske iye bolatug`inday etip tan`lap aliwg`a boladi. Bul x₀ ha`m y<sub>0</sub> ma`nislerdin` qolayli etip tan`lap aliniwi berilgen ten`lemeni integrallaw ma`selesin jen`illestiredi.

Mina,

M(x)dx + N(y)dy = 0

differencial ten`leme toliq differencialli, sebebi

A`piwayi esaplawlar menen to`mendegilerdi tabamiz:

Differencial ten`lemenin` integrali

funkcialarinan ibarat. Uliwma integral bolsa

Ф₁(x) + Ф₂(y) = C

ko`riniste boladi, bunda Ф<sub>1</sub>(x) funkciya M(x) tin` bazibir baslang`ish funkciyasi, Ф<sub>2</sub>(y) funkciya bolsa N(y) tin` bazibir baslang`ish funkciyasi.