Arnawli bilimlendiriw ministrligi

12-lekciya. Turaqlı koefficientli sızıqlı ekinshi tártipli differencial teńleme

Ekinshi tártipli turaqlı koeficientli sızıqlı differencial teńleme tómendegi túrge iye boladı:

(12.1)

bunda hám bazı bir haqıyqıy sanlar, bazı bir funkciya. Eger bolsa:

(12.2)

teńlemesi birtekli dep, keri jaǵdayda birtekli emes boladı. Dáslep (12.2) túrindegi sızıqlı birtekli, turaqlı koefficientli teńlemeni sheshiwdi qarayıq.

Meyli hám

(12.2) teńlemeniń dara sheshimleri bolsın.

Anıqlama. Eki hám sheshimler óz-ara sızıqlı ǵárezli delinedi. Egerde bir waqıtta ekewide nolge teń bolmaytuǵın bazı bir hám sanları tabılıp, bul funkciyalardıń sızıqlı kombinaciyası birdeylik nolge teń bolsa, yaǵnıy:

(12.3)

bul birdeylik tek bolǵanda ǵana orınlansa sızıqlı ǵárezli delinedi.

1-teorema. Egerde (12.2) teńlemeniń hám sızıqlı ǵárezsiz dara sheshimleri bolsa, onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi bazı bir , haqıyqıy sanları ushın dara sheshimlerdiń sızıqlı kombinaciyası boladı. Yaǵnıy:

(12.4)

Solay etip (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıw ushın dáslep hám dara sheshimlerdi tabıw kerek eken. (12.2) teńlemeniń sheshimin:

(12.5)

túrinde izleymiz, – bazı bir haqıyqıy san.

bolǵanlıqtan (12.5) funkciya (12.2) teńlemeniń sheshimi bolıw ushın sanı:

(12.6)

teńlemesiniń koreni bolıwı kerek. Bul (12.2) teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi dep ataladı.

2-teorema. 1⁰. (12.2) differencial teńlemeniń (12.6) xarakteristikalıq teńlemesi eki hám haqıyqıy korenge iye bolsın. Onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi

(12.7)

boladı. Bunda hám bazı bir turaqlı san.

2⁰. Egerde (12.6) xarakteristikalıq teńleme bir korenge (eseli korenge) iye bolsa onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi

(12.8)

boladı. Bunda hám bazı bir turaqlı san.

3⁰. Egerde (12.6) xarakteristikalıq teńleme haqıyqıy korenge iye bolmasa onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi

(12.9)

boladı. Bunda bazı bir sanlar.