Asosiy qism: I bob statsionar tasodifiy jarayonlar

2-misol. va kovariatsion funksiyaga ega bo’lgan Gauus jarayoni, tor ma’noda statsionar bo’lishi isbotlansin.
Yechimi. jarayonning uchun o’lchovli taqsimotnig xarakteristik funksiyasi

va u barcha larni lar bilan almashtirishda o’zgarmaydi, shuning uchun jarayonning o’lchovlari taqsimotlari ham larni lar bilan almashtirilganda o’zgarmaydi, shu bilan birga bu barcha va shartni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun o’rinli.
3-misol. Broun harakati jarayoni va bo’lsin. keng ma’noda statsionar jarayon ekanligini ko’rsatib, uning kovariatsiya funksiyasi topilsin.
Yechimi. Z(t) jarayonning momentli xarakteristikalarini aniqlaymiz. bo’lgani uchun, va
Shunday qilib, Z(t) jarayonning kovariatsiya funksiyasi faqat t-s ga bog’liq bo’lganligi sababli u keng ma’noda statsionar jarayondan iborat.
1.2. Markov jarayonlari

Bu paragrafda biz, amaliyotda keng ko’lamli tatbiqlarga ega bo’lgan, tasodifiy jarayonlarning yana bir muhim sinfi hisoblanadigan Markov jarayonlari bilan tanishamiz.

ehtimollar fazosida jarayon aniqlangan bo’lsin. Markov jarayonining ta’rifini keltirishdan oldin quyidagi

belgilashlarni kiritamiz. Qaralayotgan algebralarning aniqlanishiga ko’ra, agar bo’lsa, tasodifiy miqdor algebraga nisbatan o’lchovli agar bo’lsa, u ga nisbatan o’lchovli bo’ladi.
3-ta’rif: Agar ixtiyoriy , , lar uchun t ehtimol bilan
(1)
Tenglik o’rinli bo’lsa, u holda tasodifiy jarayon Markov jarayoni, (1) xossa esa Markov xossasi deyiladi.
Markov jarayoning yana bitta ekvivalent ta’rifini keltiramiz.
4-ta’rif: Agar ixtiyoriy chekli f Borel funksiyasi va tengsizlikni qanoatlantiruvchi vaqt momentlari uchun
(2)
Bo’lsa, u holda tasodifiy jarayon Markov jarayoni deyiladi.
Ta’rifga ko’ra,
(3)
va bu funksiya absolyut uzluksiz, ya’ni uni

ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsin.
P(s,x,t,B) funksiya jarayonning o’tish funksiyasi (yoki ehtimoli), esa o’tish zichligi deyiladi.
1-teorema. Agar Markov jarayoni bo’lsa, u holda
(4)
(5)
Isboti. Markov jarayoni bo’lgani sababli, uchun

Ya’ni (4) tenglik isbotlandi. (5) tenglik ham shu kabi isbotlanadi.
(4) va (5) temnglamalar Kolmogorov-Chempen tenglamalari deyiladi.
Endi (3) shartni qanoatlantiruvchi Markov jarayoni mavjud bo’lishi uchun funksiya qanday xossalarga ega bo’lishi kerakligini aniqlaymiz.
_{5-ta’rif: o’lchovli fazo bo’lsin. Agar funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:}

1. 
   ning funksiyasi deb qaralgan _{har bir da ehtimollik taqsimotidan iborat;}
   
2. 
   _{Har qanday va uchun ga nisbatan o’lchovli;}
   
3. 
   da, ixtiyoriy va uchun (4) tenglik o’rinli;
   
4. 
   Agar bo’lsa, u holda bu yerda
   

u o’tish funksiyasi deb ataladi.

Bu ta’rifdagi 1- va 2-xossalar _{funksiyani shartli taqsimot ekanligini asoslaydi.
Endi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi qandaydir jarayonning chekli o’lchovli taqsimotlarini funksiya yordamida ushbu
(6)
formula orqali ifodalaymiz.
3- va 4-xossalardan bu chekli o’lchovli taqsimotlarning moslanganligi kelib chiqadi va shuning uchun ham ular Kolmagorov teoremasiga ko’ra, jarayonni to’la aniqlaydi. (6) formula va (2) ga ko’ra}

Demak, ta’rifga ko’ra biz

shartni qanoatlantiruvchi Markov jarayonini qurdik.
Agar tenglik bajarilsa, u holda bir jinsli Markov jarayoni deyiladi va bunda o’tish ehtimolini qisqalik uchun ko’rinishda yoziladi.
Bir jinsli Markov jarayonlari uchun Kolmogorov-Chempan tenglamasi soddalashadi:

Markov jarayoning chekli o’lchovli taqsimotlarini topish uchun uning o’tish ehtimollari va biror boshlang’ich momentdagi bir o’lchovli taqsimotlarini bilish yetarli, chunki to’la ehtimol formulasi va Markov xossasini ishlatib,

tenglikni hosil qilamiz, bu yerda