Asosiy qism: I bob statsionar tasodifiy jarayonlar

2.2. Markov zanjiri holatlarining klassifikatsiyasi


M- Markov zanjirining holatlar to’plami, esa holatdan holatga qadamda o’tish ehtimoli bo’lsin. Markov zanjiri holatlarini Markov zanjiri trayektoriyalari, ularga tushish momentlarining xarakteriga ko’ra klassifikatsiyalash mumkin.
7-ta’rif. Agar biror uchun bo’lsa, u holda bir jinsli Markov zanjirining holati holatdan keyin keladi deyiladi va buni simvol orqali belgilanadi. Agar va bo’lsa va holatlar tutashgan holatlar deyiladi. Holatlar to’plamida ekvivalent munosabat bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas.
Quyida keltiriladigan tushunchalar Markov zanjirlari nazariyasida ko’p ishlatiladi. holat:

1. 
   agar bo’lsa, yutib qoluvchi holat deyiladi;
   
2. 
   agar shartni qanoatlantiruvchi vaqt momentlarining
   

eng katta umumiy bo’luvchisi bo’lsa davrli holat deyiladi;

3. 
   agar uning davri birga teng bo’lsa, u holda u davriy emas deyiladi;
   
4. 
   agar bo’lsa, u holda u ahamiyatga molik emas
   

deyiladi;

5. 
   agar bo’lsa, u holda u ahamiyatga
   

molik holat deyiladi.
Ahamiyatga molik holat: a) agar shart bajarilsa, qaytuvchan; b) bunda agar da bo’lsa, u holda “nol qaytuvchan” deyiladi; c) agar shart bajarilsa, musbat qaytaruvchan holat deyiladi.
Barcha tutashgan holatlar sinflaridan tashkil topgan to’plamda qisman tartib munosabati o’rnatilgan: A va B tutashgan holatlar sinflari bo’lsin. Agar eng kamida bitta holat qandaydir holatdan keyin kelsa, u holda holatlar sinfi dan so’ng keladi deyiladi va buni simvol orqali belgilanadi. Tutashgan sinflar uchun vaziyat (hol) bo’lgandagina bajarilishi mumkin.
Qaytaruvchan holatlar final sinf tashkil qiladi: ulardan so’ng boshqa sinflar kelishi mumkin emas. Har bir yutib qoluvchi holat qaytaruvchan, bu bir elementl tutashgan qaytuvchan holatlar sinfini tashkil etadi.
8-ta’rif. Bitta tutashgan holatlar sinfidan iborat bo’lgan Markov zanjiri yoyilmaydigan, agar u bir nechta tutashuvchi holatlar sinfidan tashkil togan bo’lsa, u yoyiluvchi Markov zanjiri deyiladi.
8-misol. a) Davriy zanjirlar. O’tish matritsasi bo’lgan bir jinsli Markov zanjiri berilgan bo’lsa, u holda

tengliklar o’rinli. Demak,

Xuddi shunday effekt blokli matritsalar uchun ham o’rinli bo’lib, bu yerda (kvadrat matritsa bo’lishi shart bo’lmagan) stoxastik matritsalar, nollar esa mos o’lchovlarga ega bo’lgan nollardan tashkil topgan matritsalardan iborat.
b) ahamiyatga molik bo’lmagan va yutib qoluvchi holatlar . Holatlar to’plami va o’tish matritsasi bo’lgan Markov zanjirida 1-holat - ahamiatga molik bo’lmagan, 2- va 3-holatlar esa yutib qoluvchi holatlar:


ko’rinishdagi blokli matritsalar ham xuddi shunday xossaga ega, bu yerda stoxastik matritsalar: matritsa ahamiyatga molik bo’lmagan holatlar sinfiga mos keladi, va matritsalar esa tutashuvchi holatlar sinflariga mos kelishi mumkin.
3-teorema. (Bir jinsli Markov zanjirining qaytuvchanlik kriteriyasi). Markov zanjirining holati qaytuvchan bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. shartda, zanjirni holatga qaytish momentlarining ketma-ketligini ko’ramiz:

odatdagidek deb olamiz.
1-lemma. Agar bir jinsli Markov jarayoni bo’lsa u holda shartda bog’liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligidan iborat.
Isboti. munosabat o’rinli bo’lgani sababli, Markov xossasiga ko’ra, ixtiyoriy natural va ixtiyoriy holatlar uchun

Shuning uchun ham bo’lganda trayektoriyaning taqsimoti ga va ga bog’liq emas. Demak, ixtiyoriy uchun tasodifiy oraliqning uzunligi oraliqlarning uzunligiga bog’liq emas va tasodifiy miqdorlarning taqsimoti bilan bir xil taqsimlangan.
Agar bo’lsa, u holda

ekanligini qayd etamiz. Shuning uchun ham qaytuvchanlikni qayta quyidagicha ta’riflash mumkin: holat qaytuvchan bo’lishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.

tasodifiy indikatorlar ketma-ketligini kiritamiz, qadamda holatga qaytarishlar soni bo’lsin:

bo’lgani sababli

Agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, uning uchun

va shuning uchun ham

Bundan, ni tanlash ixtiyoriy bo’lgani uchun kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, agar bo’lsa, u holda ketma-ketlik birinchi marta bo’lgan da uzilib qoladi. Agar

bo’lsa, u holda yuqorida isbotlangan lemmadan

kelib chiqadi, ya’ni tasodifiy miqdor parametrli geometrik taqsimotga ega, demak, shuning uchun ham, ixtiyoriy uchun

Ya’ni 3-teorema isbotlandi.
9-misol. a) bog’liqsiz tasdifiy miqdorlar bo’lib,

bo’lsin. Agar deb belgilasak, u holda ketma-ketlik barcha holatlarni tutashuvchi Markov zanjiridan iborat. tasodifiy daydishning trayektoriyalari 0 bo’lgan holatga qaytishi uchun uning o’ngga va chapga qo’ygan qadamlari soni bir xil bo’lishi zarur va yetarli. Shuning uchun ham toq qadamda 0 holatga qaytish ehtimoli nolga teng, ga teng bo’lgan juft qadamda bu ehtimol da

chunki Stirling formulasiga ko’ra da

Agar bo’lsa, u holda va ya’ni 0 holat qaytmas holat bo’ladi. Agar bo’lsa va ya’ni bir o’lchovli simmetrik daydish uchun 0 qaytuvchan holat.
b) Tekislikdagi tasodifiy daydishni qaraymiz, bu yerda a-holatda kiritilgan ketma-ketlik. Bu daydish a-holatda ko’rilgan ikkita bog’liqsiz tasodifiy daydishlarning majmuasidan iborat. bo’lgan holda tasodifiy daydish qaytuvchan emas va shuning uchun ikki o’lchovli daydish ham qaytuvchanmas bo’ladi. bo’lgan holni qaraymiz. (0,0) nuqtaga qadamda qaytish ehtimoli, har qaysi ikkita daydishlarning qadamda 0 ga qaytish ehtimollarining ko’paytmasiga teng:

qator uzoqlashadi, demak isbotlangan teoremaga ko’ra, (0,0) holat qaytuvchan.
c) Ammo

va qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun uch o’lchovli simmetrik tasodifiy daydish a-holatdagi uchta bog’liqsiz daydishlarnin guruhi uchun (0,0,0) holat qaytuvchimas ekanligi kelib chiqadi.


Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:

1. 
   Statsionar tasodifiy jarayonlar
   
2. 
   Markov jarayonlari
   
3. 
   O’tish ehtimolliklari
   
4. 
   Markov zanjiri holatlarining klassifikatsiyasi
   

Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida statsionar tasodifiy jaroyonlar, markov zanjirlari va o’tish ehtimolliklarini hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdim.