Asosiy qism: I bob statsionar tasodifiy jarayonlar

MUSTAQIL ISH maqsadi: oily ta’lim muassasalarida o’tish ehtimolliklari uchun tenglamalar va statsionar taqsimot haqidagi fikrlarni boyitish va ilmiy jihatdan asoslashdan iborat.
MUSTAQIL ISH vazifalari:

1. 
   Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish.
   
2. 
   Ta’lim muassasalarida o’quvchilar fikrlar jarayonini oshiruvchi ma’lumotlar berish.
   
3. 
   O’tish ehtimolliklari uchun tenglamalar va statsionar taqsimot mavzusi haqida tushuncha berish.
   
4. 
   Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
   

I BOB STATSIONAR TASODIFIY JARAYONLAR
1.1. Statsionar tasodifiy jarayonlar

Statsionar jarayonlar tasodifiy jarayonlarning muhim sinflaridan biri hisoblanadi. Statsionarlik xossasi jarayon kesimlari sinfining ba’zi xarakteristikalari vaqtga bog’liq emasligini bildiradi.

1-ta’rif: jarayon berilgan bo’lsin. Agar larda ixtiyoriy vaqt momentlari va tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimoti, shartlarni bajaradigan barcha h lar uchun bir xil bo’lsa, u holda statsionar tasodifiy jarayon deyiladi.
Statsionar jarayonning chekli ‘lchovli taqsimotlari h ga surishga nisbatan invariantdir. Agar bunday jarayonning matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, u o’zgarmas,

va (ikkinchi moment mavjud bo’lsa) - kovariatsiya funksiyasi ayirmagagina bog’liq bo’ladi. Shu munosabat bilan quyidagi ta’rifni kiritamiz.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun

bo’lsa, u holda keng ma’noda statsionar jarayon deb ataladi.
Bir xil taqsimlangan, bog’liqsiz bo’lishi shart bo’lmagan tasodifiy miqdorlarning yig’indisi statsionar tasodifiy jarayonga misol bo’ladi. Endi murakkabroq misollarni ko’ramiz:
1-misol. tasodifiy miqdorlar esa tasodifiy miqdorlarga bog’liq emas va oraliqda tekis taqsimlangan bo’lsin.

formula orqali aniqlangan tasodifiy jarayon statsionar ekanlgini isbotlaymiz.
Isboti. statsionar jarayon ekanligini ko’rsatish uchun ixtiyoriy o’lchovli Borel to’plami va ixtiyoriy vaqt momentlari uchun

ekanligini isbotlash zarur. B orqali va shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plamini, orqali esa oraliqqa keltirilgan (ya’ni uchun nuqtani belgilaymiz. U holda isbotlanayotgan tenglikni

ko’rinishda yozish mumkin, yoki

bu yerda tasodifiy miqdorning taqsimoti, esa va tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimoti.
Ammo oxirgi tenglik o’z-o’zidan ravshan, chunki tasodifiy miqdorning taqsimoti surishga va modul bo’yicha keltirishga nisbatan invariant bo’lganligi sababli, uchun