Asosiy qismida geometriyani o’rganishda: Evklidning “Negizlar” asari, geometriyaning aksiomatik qurilishi va uning ahamiyati, aksiomalar sistemasiga qo’yiladigan talablar

a(b+c) = ab + ac,
xuddi shunday ushlab turadi.
Bu algebra nisbatlar nazariyasi bilan qanchalik chambarchas bog'liqligi aniq. Proporsiyada berilgan. bu erda a, b, a', b' har qanday segmentlar bo'lib, segmentlar tenglamasiga teng deb ta'riflanadi
Agar shunga o'xshash uchburchaklar odatiy tarzda aniqlansa, professor Gilbert bilan segmentlar algebrasi asosida nisbatlar teoremasining umumiy asosliligini isbotlash oson va bundan keyin to'g'ri chiziq chiziqli tenglama bilan ifodalanganligini ko'rsatish mumkin.
Paskalning proportsiyalar nazariyasi haqidagi taklifidan foydalanish, albatta, muhim yutuq bo'lsa-da, ushbu taklif tomonidan qabul qilingan katta ahamiyatga ega bo'lgan tekislik figuralari sohalari nazariyasi uchun asos sifatida ko'rish hali ham ajablanarli.
Ikki ko'pburchak teng maydonga ega deyiladi (fl rkkkengleich) agar ularni juft bo'lib mos keladigan cheklangan sonli uchburchaklarga hal qilish mumkin bo'lsa. Ular teng tarkibga ega deyishadi (inhaltsgleich) ularga teng maydonli ko'pburchaklarni qo'shish mumkin bo'lganda, shuning uchun paydo bo'lgan yangi ko'pburchaklar teng maydonga ega bo'ladi. Ushbu ikkita ta'rif juda aniq, chunki tergov Arximed aksiomasining asosliligidan mustaqil ravishda olib borilishi kerak. Keyinchalik teng asosli va teng balandlikdagi to'rtburchaklar, parallelogrammalar va uchburchaklar teng tarkibga ega ekanligini isbotlash mumkin. Oxirgi taklifning teskarisi tomonidan hosil qilingan fundamental teorema, ya'ni. , agar teng tarkibli ikkita uchburchak teng asoslarga ega bo'lsa, ular teng balandliklarga ega bo'lishi kerak, bu g'oyani kiritishni talab qiladi maydon o'lchovi (Flpbukchenmass), bu uchburchak holatida asos va balandlikning ko'paytmasining yarmiga teng ; keyin teorema juda aniq isbotlangan, garchi biroz bo'lsa ham uzoq, mulohazalar. Bu natijalar bir nafis dastur nihoyat taklif paydo bo'lib (ilgari boshqa mualliflar tomonidan muhokama):
Agar to'rtburchakni to'g'ri chiziqlar yordamida bir qator uchburchaklarga kesib bo'lgach, ushbu uchburchaklardan birortasi chiqarib tashlansa, qolgan uchburchaklardan to'rtburchakni tuzish imkonsiz bo'ladi.
Desargues taklifiga kelsak, uni i guruhning barcha aksiomalari (shu jumladan kosmik aksiomalar) hamda 11 va Ill guruhlari yordamida osongina isbotlash mumkinligi ma'lum. Ushbu haqiqatni samolyotda Desargues taklifining mavjudligi, agar tekislik geometriyasi qattiq geometriyaning bir qismi yoki tekislik fazoning bir qismi bo'lishi kerak bo'lsa, zaruriy shart deb aytish mumkin. Kosmik aksiomalarni qoldirib, yuqorida nomlangan aksiomalar orasida qolganlar yordamida Desargues taklifini isbotlash mumkin emas. Darhaqiqat, Professor Gilbert shuni ko'rsatadiki, bu taklif hatto tekislik geometriyasida ham to'g'ri bo'lishi mumkin emas alt aksiomalari uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasidan tashqari ushlab turing. Ushbu dalil katta qiziqish bilan o'qiladichunki u keyingi tekshiruvni taklif qiladigan bunday geometriyani qurishga olib keladi. Biroq, Gilbert tizimining aksiomalari Desargues taklifining haqiqati uchun zarur ekanligi isbotlangan deb hisoblanmasligi kerak ; uning mavjudligi parallellar aksiomasidan mustaqil bo'lishi mumkin emas.
Geometriya tizimidagi Desargues taklifining ahamiyati va uning Paskal taklifiga aloqasi unga asoslangan segmentlar algebrasidan aniq ko'rinadi. Bu. algebra, unda konstruktsiyalar yuqorida aytib o'tilgan algebradan farq qilmaydi, bundan tashqari ixtiyoriy burchak to'g'ri burchak o'rnini egallaydi, assotsiativ va komutativ qonunlar qo'shish uchun ushlab turiladi ; ko'paytirish uchun assotsiativ va taqsimot qonunlari to'g'ri, ammo komutativ qonun emas.
Desargues-ning Paskal taklifi bilan munosabatlarini yanada o'rganish uchun biz desargues teoremasi asosida segmentlar algebrasi yordamida quyidagicha harakat qilishimiz mumkin.
Keling, ixtiyoriy burchakning bir tomonini segmentlarni olaylik