Asosiy sarlavhalar goaravetisyan ru- go‘zallik va moda haqida ayollar jurnali

Ta'rif. Funktsiya f(x) nuqtada uzluksiz deyiladi a funktsiya bo'lsa f(x) nuqtada bor a chegara va bu chegara xususiy qiymatga teng f(a) funktsiyalari f(x) nuqtada a.
Ushbu ta'rifdan biz quyidagilarni olamiz funksiya uzluksizligi sharti f(x) nuqtada a :
Chunki biz yozishimiz mumkin

Shuning uchun, bir nuqtada uzluksiz uchun a chegara o'tish belgisi va belgini bajaradi f funktsiya xarakteristikalari o'zaro almashtirilishi mumkin.
Ta'rif. Funktsiya f(x) nuqtada o'ngda (chapda) uzluksiz deyiladi a, agar ushbu funktsiyaning o'ng (chap) chegarasi nuqtada bo'lsa a mavjud va xususiy qiymatga teng f(a) funktsiyalari f(x) nuqtada a.
Haqiqat shundaki, funktsiya f(x) nuqtada uzluksiz a o'ng tomonda shunday yozilgan:
Va funksiyaning uzluksizligi f(x) nuqtada a chap tomonda shunday yozilgan:
Izoh. Funksiya uzluksizlik xossasiga ega bo‘lmagan nuqtalar bu funksiyaning uzilish nuqtalari deyiladi.
Teorema. Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) Va g(x), nuqtada uzluksiz a. Keyin funktsiyalar f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x) g(x) Va f(x)/g(x)- bir nuqtada uzluksiz a(xususiy bo'lsa, siz qo'shimcha ravishda talab qilishingiz kerak g(a) ≠ 0).
Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi
1) Quvvat funktsiyasi y=xn tabiiy bilan n butun sonlar qatorida uzluksiz.
Keling, birinchi navbatda funktsiyani ko'rib chiqaylik f(x)=x. Funktsiyaning nuqtadagi chegarasining birinchi ta'rifiga ko'ra a har qanday ketma-ketlikni oling (xn), ga yaqinlashish a, keyin funksiya qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi (f(xn)=xn) ga ham yaqinlashadi a, ya'ni  , ya'ni funksiya f(x)=x haqiqiy chiziqning istalgan nuqtasida uzluksiz.
Endi funktsiyani ko'rib chiqing f(x)=xn, qayerda n u natural sondir f(x)=x x … x. Keling, chegaraga o'tamiz x → a, ya’ni funksiyani olamiz f(x)=xn haqiqiy chiziqda uzluksiz.
2) ko'rsatkichli funktsiya.
Eksponensial funktsiya y=a x da a>1 cheksiz chiziqning istalgan nuqtasida uzluksiz funksiyadir.
Eksponensial funktsiya y=a x da a>1 shartlarga javob beradi:
3) Logarifmik funksiya.
Logarifmik funktsiya uzluksiz va butun yarim chiziq bo'ylab ortadi x>0 da a>1 va butun yarim chiziqda uzluksiz va kamayib boradi x>0 da 0, va
4) Giperbolik funksiyalar.
Quyidagi funktsiyalar giperbolik funktsiyalar deb ataladi:

Giperbolik funksiyalarning ta’rifidan kelib chiqadiki, giperbolik kosinus, giperbolik sinus va giperbolik tangens butun real o‘qda, giperbolik kotangent esa real o‘qning hamma joyida, nuqtadan tashqari aniqlangan. x=0.
Giperbolik funktsiyalar o'z sohasining har bir nuqtasida uzluksizdir (bu ko'rsatkichli funktsiyaning uzluksizligi va arifmetik amallar teoremasidan kelib chiqadi).
5) Quvvat funksiyasi
Quvvat funktsiyasi y=x a =a a log a x ochiq yarim chiziqning har bir nuqtasida uzluksiz x>0.
6) Trigonometrik funksiyalar.
Funksiyalar gunoh x Va chunki x har bir nuqtada uzluksiz x cheksiz to'g'ri chiziq. Funktsiya y=tg x (kp-p/2,kp+p/2), va funksiya y=ctg x intervallarning har birida uzluksiz ((k-1)p,kp)(bu erda hamma joyda k- har qanday butun son, ya'ni. k=0, ±1, ±2, …).
7) Teskari trigonometrik funksiyalar.
Funksiyalar y=arcsin x Va y=arccos x segmentda uzluksiz [-1, 1] . Funksiyalar y=arctg x Va y=arctg x cheksiz chiziqda uzluksiz.
Ikki ajoyib chegara
Teorema. Funktsiya chegarasi (sinx)/x nuqtada x=0 mavjud va bittaga teng, ya'ni.

Bu chegara deyiladi birinchi ajoyib chegara.
Isbot. Da 0 tengsizliklar 0<\sin x. Biz bu tengsizliklarni ajratamiz gunoh x, keyin olamiz


Bu tengsizliklar qiymatlar uchun ham amal qiladi x, shartlarni qondirish -p/2 . Bu shundan kelib chiqadi cosx=cos(-x) Va  . Chunki chunki x u holda uzluksiz funksiyadir  . Shunday qilib, funktsiyalar uchun chunki x, 1 va ba'zilarida δ - nuqta qo'shnisi x=0 teoremalarning barcha shartlari bajariladi. Binobarin,  .
Teorema. Funktsiya chegarasi  da x → ∞ mavjud va ga teng e:

Bu chegara deyiladi ikkinchi ajoyib chegara.
Izoh. Bu ham haqiqat

Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Teorema. Funktsiyaga ruxsat bering x=ph(t) nuqtada uzluksiz a, va funksiya y=f(x) nuqtada uzluksiz b=ph(a). Keyin murakkab funktsiya y=f[ph(t)]=F(t) nuqtada uzluksiz a.
Bo'lsin x=ph(t) Va y=f(x) eng oddiy elementar funksiyalar va qiymatlar to‘plamidir (x) funktsiyalari x=ph(t) funksiya doirasi hisoblanadi y=f(x). Ma'lumki, elementar funktsiyalar vazifa maydonining har bir nuqtasida uzluksizdir. Shuning uchun, oldingi teoremaga ko'ra, kompleks funktsiya y=f(ph(t)), ya'ni ikkita elementar funksiyaning superpozitsiyasi uzluksizdir. Masalan, funksiya istalgan nuqtada uzluksizdir x ≠ 0, ikkita elementar funktsiyaning kompleks funktsiyasi sifatida x=t-1 Va y=sin x. Shuningdek, funktsiya y=ln sin x intervallarning istalgan nuqtasida uzluksiz (2kp,(2k+1)p), k ∈ Z (sinx>0).