Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Ta’rif 3.2.[1] funksiya da garmonik deyladi, agar ixtiyoriy uchun


tenglik o‘rinli bo‘lsa.

dagi barcha garmonik funksiyalar to‘plamini deb belgilaymiz.
Lemma 3.1.[1] Agar va soha bir bog‘lamli bo‘lsa, u holda

funksiya da analitik bo‘ladi faqat va faqat shundaki

funksiyalar da garmonik funksiya bo‘lsa.
Bu holda Koshi-Riman shartlarining analogi bajariladi:

2. 
   analitik funksiyalarga misollar
   

1. 
   ^u  ^z  ^ _^{z  zA}_n ^{e  A}^{, X} ^{, bu yerda e}
   

• 
  X ^m dan olingan biror
  

fikserlanganvektor,

m  0,1,... .

A_, X ^m _ chiziqli fazo bo‘lgani uchun u holda

^u  ^z  ^ _

z0

_z  zA_k e ,

e  X ^m ,

k  0, n

funksiya ham A_

ga tegishli

k

k
ham bo‘ladi.

2. 
   z  0 uchun operatorni quyidagicha aniqlaymiz.
   

^B ^z  ^ _^{z  zA}_1 ^{ z}1^R_^{z z} _ ^
^{funksiyani qaraymiz.} ^ ^{tenglikni hisobga olgan holda}

^{B  B2} ,

^{B   AB2 va u  A( \} ⁰^{; X m ).}

k
Xuddi shunday,

e  X ^mk1 _k  1, n_

, e₀

 X ^m
bo‘lganda quyidagi

n
^u  ^z  ^ _

^Bk  ^z ^{e } _^{z  zA}_k^e
funksiya ham

A( \ _0_; X ^m)
ga tegishli

n
k 0

k k

k 0

bo‘ladi.Haqiqatdan ham,

B^k  kB^k1 B^k  kAB^k1

va bundan

B^ke

 A( \ _0_; X ^m).

k
_ 1 0 _

3. 
   A operator sifatida A  ^
   

 ₀



₁ _,


2 

z  uchun operatorni quyidagicha

aniqlaymiz.
 ¹ 

_{ }1






^ z  z

_{0 }1

^ z  z ^{0 }

B _ z _  _zI  zA_1  ^{ z}

0 _{ } ^ z

^{0 }_{ }   _ ^ ₁ ^

_^{ 0 z  } 0 1 2 z ^_{ } ⁰

z  ¹ z _ ^{ 0 }

_ 

 _{ }

^{2  } z  ¹ z ^

 

 2 

^u  ^z  ^{ B}  ^z ^e,

e  ^{ i }


 ₀
 
biror fikserlangan vektor bo‘lsin. U holda

 ¹ ₀ 

^ z  z



 ⁱ 

_ 1 _{i }

u _ z _  B _ z _e  ^ ₁ ^  _{ }  ^ _{z  z} ^

 ₀ 

_{ 0 }  ₀ 

^ z  ¹ z ^{  }

 

 2 

u ^ 1 ^

 
 z ^{  } (z  z)^{2 i, 0 }

u ^ 1 ^

 
^{z   } (z  z)^{2 i, 0 }

_{ } 1

_i ^ _ 1 0 _^ _

¹ _i   _

1 _{i }

^ A^{u  u  Au  }

(z  z)²

 <sub> 

1 </sub>

(z  z)²

 _ 

(z  z)^{2 } 

 ₀  ^{ 0 } ₀   ₀ 

_{ } 1

  ^{ 2 }   

^{i }  ⁰ 

^ (z  z)^{2 }  _{ }   

 ₀ 

 ⁰ 