Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Teorema 1.5.[4] X  Banax fazosi va

^{A L} ^X  ^{. Agar}

A  q  1 bo‘lsa, u holda

I  A operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.

Isbot. L_ X _fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz:
I  A  A²  ...Aⁿ  ... .
⁵

Ma‘lumki,

A² 

A ² . Xuddi shuningdek,

Aⁿ 

A ⁿ . U holda _5_

qatorning

n
S  I  _ A^k qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi,

k 1

ya‘ni

^Sn p ^{ S}n

 A^n1  A^n2 ...  A^np

 q^n1  q^n2  ...  q^np  0,

n   .

_5_ qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi S_n

- fundamental ekan,

^L ^X  ^{: L} ^{X , X}  ^{to‘la bo‘lgani uchun S}_n ^{ S  L} ^X ^{. Shunday qilib,}






I  _ A^k  S .

k 1

Bundan tashqari

n

 
S I  A  lim S

n
_I  A_  lim_I  A  A²  ...  Aⁿ  A  A²  ...  A^n1_ 

n

 
 lim I  A^n1  I.

n
^{Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki,} ^{I  A}^{S  I . Demak, S operator I  A}

operator uchun teskari operator ekan. S operatorning normasi

S  _ Aⁿ

n0

 _

n0

qⁿ  ¹ .

1  q

Demak,

^{S } ^{I  A}1 ^{operator chegaralangan.}

Misol 2. Parameter  ning

 ^  ¹ ; ^{1 }

qiymatlarida

 _{ } 

 

^{I   A} ^f  ^x ^


^f  ^x ^{ } _ ^{cos x sin yf}  ^y ^{dy ,}



f  L_{2 } , _

operatorga 4-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping.

Yechish.4-teoremani qo‘llashimiz uchun A operatorning darajalarini hisoblashimiz kerak. Dastlab A operatorni kvadratini hisoblaymiz:
 ^  ^  ^ 

_ A² f _ x_  A_{ } cos xsin yf _ y _dy _  _ cos x sin t _{ } cost sin yf _ y _dy _dt .

⁶

 

 

  

_6_ tenglikni t bo‘yicha integralini hisoblash mumkin. Agar biz



_ cost sin tdt  0



tenglikni hisobga olsak,

A²  0

ga ega bo‘lamiz.Bu tenglikdan barcha

n  2

larda

Aⁿ  0

ekanligi kelib chiqadi.Natijada biz,

S  I   A  _I   A_1

ga ega

bo‘lamiz. Haqiqatan ham,
^{I   A}^{I   A} ^{ I   A   A   2A2  I}

^{I   A}^{I   A} ^{ I   A   A   2A2  I}

tenglik o‘rinli. Demak, barcha mavjudva chegaralangan bo‘ladi.

  R

larda I   A

operatorga teskari operator

5. 
   Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi
   

Faraz qilaylik

A: Cⁿ  Cⁿ

chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror  son

uchun Ax  x

tenglama nolmas

x Cⁿ

yechimga ega bo‘lsa, u holda  son A

operatorning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa vektor deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to‘plami

uning spektri deb ataladi. Agar

 C

son A operator uchun xos qiymat bo‘lmasa,

u operatorning regulyar nuqtasi deyiladi.Umuman olganda chekli o‘lchamli fazolarda spektr tushunchasi kam ishlatiladi.

Agar A operator cheksiz o‘lchamli X fazoda berilgan bo‘lsa, u holda 3 ta holat bo‘ladi, ya‘ni:

1. 
    son uchun Ax  x tenglama nolmas yechimga ega, ya‘ni  son A
   

operator uchun xos qiymat, bu holda A  I

emas;

ga teskari operator mavjud

2. 
    son uchun
   

^Сn fazoning hamma yerida aniqlangan ^{ A  I }1

operator

mavjud va demak, chegaralangan;

3) _ A  I _1

operator mavjud, ya‘ni Ax  x

tenglama nol yechimga ega,

_ A  I _1
operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki

Im_ A  I _  X .

Ta’rif 1.21.[4] Agar

 C

son uchun A  I

ga teskari operator mavjud bo‘lib, u

X ning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa,  son A operatorning regulyar nuqtasi

deyiladi,

R _ A_  _ A  I _1

operator esa A operatorning  nuqtadagi


rezolventasi deyiladi.Barcha regulyar nuqtalar to‘plami

^  ^A ^{orqali belgilanadi.}

Ta’rif 1.22.[4] A operatorning regulyar bo‘lmagan barcha nuqtalari to‘plami A

^{operatorning spektri deyiladi va u }  ^A

orqali belgilanadi.

Ta’rif 1.23.[4] Agar biror

 C

^{son uchun}  ^{A  I}  ^{x  0}

tenglama nolmas

_ x  0_

yechimga ega bo‘lsa,  son A operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas

yechim x esa xos vektor deyiladi.

Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki  xos

qiymat bo‘lsa, A  I

operatorning teskarisi mavjud emas.

Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi.

Ta’rif 1.24.[4] a) Barcha xos qiymatlar to‘plami A operatorning nuqtali spektri

^{deyiladi va } _pp  ^A

bilan belgilanadi.

2. 
   Agar  xos qiymat bo‘lmasa va
   

Im_ A  I _  X , ya‘ni A  I

operatorning

qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday  lar to‘plami A

^{operatorning qoldiq spektri deyiladi va } _qol  ^A ^{bilan belgilanadi.}

1. 
   X Banax fazosi va A L_ X _
   

Masalalar. bo‘lsin. Agar

A  1 bo‘lsa, u holda

_I  A_1  L_ X _va_ I  A_1  _

n0

Aⁿ ekanligini ko‘rsating.

2. 
   X Banax fazosi va holda
   

A: X  X

chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u

• 
  _ A_ _ C:   A _ekanligini ko‘rsating.
  

Yechish.Aytaylik,   A

bo‘lsin. I  A   ^ I  ^{A },

 1tengsizliklardan

 _ 

 
^{va 1-misoldan} ^{I  A}1 ^{ L} ^X  ^{ekanligi kelib chiqadi.}

Bundan
   _ A_ .

Demak,  _ A_ _ C:   A _.

3. 
   X Banax fazosi va holda
   

A: X  X

chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u

• 
   ^A ^{yopiq to‘plam ekanligini isbotlang.}
  

^{Yechish. }  ^A ^{ C \ }  ^A ^{to‘plamni ochiq to‘plam ekanligini isbotlash yetarli.}

Aytaylik,
   _ A_ va    
_I  A_1

bo‘lsin.

_   _I  A_1

   

_I  A_1

 1va

 
 I  A  _I  A_^I  _   _I  A_1 ^ munosabatdan    _ A_ kelib chiqadi.

Demak,

 _ A_ to‘plamning har bir nuqtasi o‘zining

_I  A_1

atrofi bilan birga

 _ A_to‘plamga tegishli bo‘ladi.Bundan  _ A_ ochiq to‘plamdir.

1

4. 
   A: C_0,1_  C_0,1_chiziqli operatori _ Ax_t _  _ x_s_ds ,
   

0

x C _0,1_

formula
bilan aniqlanadi. Uning spektrini toping.
Yechish. Aⁿ operatorni darajasini bo‘laklab integrallash orqali topamiz:

_ Aⁿx_t _ 

¹ _^{t  s}n1


^x ^s^ds.

t
^{n 1}^! ₀

Bundan

_{An }1

^{n 1}^!
. Demak,

1

 
lim^{1 }n  0

^n _{ }n 1_!_
bo‘lganligidan, A operator

spektral radiusi

r A  lim


 
n
1

^{An n  0 . Demak, }  ^A ^⁰^.

5. C_0,1_

fazoda erkli o‘zgaruvchiga ko‘paytirish operatori berilgan:

Ax_t _  tx_t _, x C_0,1_. A operatorning spektrini toping.

^Yechish. ^{I  A} ^x^t  ^ ^{  t}  ^x^t 

bo‘lganligidan,

  1 uchun

^{I  A}1 ^x^t  ^

1

  t

^x ^t ^{, ya‘ni}^{I  A}1

operator chegaralangan operator

bo‘ladi.

  1da_I  A_1

operator chegaralanmagan operator. Bundan

 _ A_  _0,1_.

6. A chegaralangan chiziqli operator. ,    _ A_ uchun

R_  R_

^ ^{  }  ^R_ ^R_ ^{tengligini isbotlang.}

Yechish. A   I  A   I  _   _ I tengligidan R_ ^1  R_ ^1  _   _ I . Bu

tenglikni chapdan R_ ga ko‘paytirsak, u holda

R_ R_ ^1  I  _   _ R_

. Oxirgi

tenglikni o‘ngdan R_ ga ko‘paytirsak, u holda

R_  R_  _   _ R_ R_ .

2. 
   ^bob. Golomorf funksiyalarning xossalari
   

1. 
   Koshi teoremasi
   

^{Kompleks tekislikda biror to‘girlanuvchi} ^{egrichiziqniolaylik. Egri chiziqni}

z₀ , z₁,..., z_n

nuqtalar yordamida n ta ₁, ₂ ,..., _n

yoylarga ajratamiz.  _k  yoylarning

uzunliklari

l_k larning eng kattasi  bilan belgilaymiz.

  max l ^{. Aytaylik} 

k
1kn

egri chiziqda

f _ z _

funksiya berilgan bo‘lsin.Yuqoridagi har bir  _k

yoydan

ixtiyoriy _k

nuqta olib, so‘ng berilgan funksiyaning shu nuqtadagi qiymati

^f ^k 

qiymatini

^zk ^{ z}k 1

ga ko‘paytirib, ushbu

^{G } _ ^f ^k  ^{zk  zk1}

k 1

yig‘indini

tuzamiz.Odatda bu yig‘indi

f _ z _ funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi.