Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Ta’rif 2.1.[5] Agar

  0 da

f _ z _

funksiyaning integral yig‘indisi  egri

chiziqning bo‘linish usuliga hamda  _k

da _k

nuqtaning tanlab olinishiga bog‘liq

bo‘lmagan holda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit

f _ z _

funksiyaning  egri

^{chiziq bo‘yicha integrali deb ataladi va} _ ^f  ^z ^dz



¹ ^{kabi belgilanadi.}

Agar

z  x  iy ,

f _ z _  u _x, y_  iv_x, y_  u  iv

^deyilsa, ¹

integral 2-tur egri

chiziqli integrallar bilan bilan quyidagicha bog‘langan
_ f _ z _dz  _udx  vdy  i_vdx  udy

  

²

Integralning xossalari.

1. 
   Agar
   

^f  ^z  <sup>va

g</sup>  ^z  ^{funksiyalar   egri chiziqda berilgan va uzluksiz}

bo‘lsa, u holda

_{ }af _ z _  bg _ z __ dz  a_ f _ z _dz  b_ g _ z _dz

  

³

bo‘ladi,

bunda

a,b .

2. 
   Agar
   

f _ z _ funksiya  egri chiziqda berilgan va uzluksiz bo‘lib 

 ₁   ₂ ,

₁   ₂   bo‘lsa,

_ f _ z _dz  _ f _ z _dz  _

f _ z _dz

_4_ bo‘ladi.

 ₁  ₂

3. 
   Agar
   

f _ z _ funksiya  egri chiziqda berilgan va uzluksiz bo‘lsa

_ f _ z _dz  _

^  ^

f _ z _dz

_5_ bo‘ladi.Bu yerda  ^  berilgan orientatsiyaga

teskari orientatsiya olingan chiziq.

4. 
   Agar
   

^f  ^z  ^{funksiya  egri chiziqda berilgan va uzluksiz bo‘lsa}

_ ^f  ^z ^{dz } _

 

^f  ^z  ^{ dz}

⁶

bo‘adi, bunda

dz 

_ z  x  iy_ .

Jumladan

M  max



f _ z _ ,

l _ _

 egri chiziqning uzunligi bo‘lsa,

_ ^f  ^z ^dz



^{ M  l} ^ 

bo‘ladi.

5. 
   Agar
   

^f  ^z  ^{funksiya  egri chiziqda berilgan va uzluksiz bo‘lsa,  egri}

chiziq ushbu

^{z  z} ^t  ^{  t  }  ^{tenglama bilan berilgan bo‘lib,}



z^_t _  0

bo‘lsa, u holda

_ f _ z _dz  _ f _z _t _ z^_t _dt

 

⁷ ^bo‘ladi.

^{Teorema 2.1.[5] Faraz qilaylik, f}  ^z ^{funksiyasi kompleks tekislik С dagi dir} bog‘lamli D sohada golomorf bo‘lsin. U holda D ga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy to‘g‘irlanuvchi yopiq egri chiziq  bo‘yicha olingan integral nolga teng bo‘ladi:

_ f _ z _dz  0



Teorema 2.2.[5] Faraz qilaylik, D  C

bir bog‘lamli, chegarasi yopiq to‘g‘ri

chiziqdan tashkil topgan soha bo‘lsin. Agar

f _ z _funksiyasi D sohaning yopig‘i

D ning biror atrofida golomorf bo‘lsa, u holda

_ f _ z _dz  0

D

bo‘ladi.

Bu teoremani

f _ z _funksiyani faqat D da golomorf bo‘lgan hol uchun ham

isbotlash mumkin.
Teorema 2.3.[5] D  C
bir bog‘lamli, chegarasi to‘g‘irlanuvchi soha bo‘lib, f _ z _

funksiyasi D da golomorf, D da uzluksiz bo‘lsin. U holda

_ f _ z _dz  0 .

D

^{Natija 2.1.[5] Faraz qilaylik, D} ^{D  C} 

bir bog‘lamli soha bo‘lib,

₁, ₂

^{chiziqlarning har biri} ^₁ ^{ D,} ₂ ^{ D}

boshi

^z₀ va oxiri z nuqtada bo‘lgan

^{chiziqlar bo‘lsin.Agar f}  ^z ^ ^D

bo‘lsa, u holda _ f _ z _ _ f _ z _{ }8_

bo‘ladi.
⁸^{tenglik, qaralayotgan integralning}

₁  ₂


z₀ va z nuqtalarigagina bog‘liq bo‘lib,

^{integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligini bildiradi. Shuni e‘tiborga olib,} ⁸

integralni

z

_ f _ z _dz

z₀

⁹

^{kabi ham yozish mumkin. Agar} ⁹

integralda z₀

^{nuqtani tayinlab, z ni esa o‘zgaruvchi sifatida qaralsa,} ⁹

integral z

o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi:

z

F _ z _  _

z₀

f _ z _dz .

Teorema 2.4.[5] Agar

^f  ^z ^{bir bog‘lamli D  C}

sohada golomorf bo‘lsa, u holda

F _ z _

funksiya ham D sohada golomorf bo‘lib,

F^_ z_ 

^f  ^z  ^{z  D} ^bo‘ladi.

Bu teoremadan ko‘rinadiki, bir bog‘lamli sohada golomorf funksiya boshlang‘ich funksiyasi mavjuddir.

f _ z _

ning

Teorema 2.5.[5] Agar

Ф_ z _funksiya D _D  C _

sohada

f _ z _

funksiyaning

boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda

z

_ f _ z _dz  Ф_ z _  Ф_ z₀

z<sub>0

</sub>  Ф_ z _ z


z
0
formula

(Nyuton-Leybnis formulasi) orinli bo‘ladi, bunda tegishli ixtiyoriy nuqtalar.

^z₀ va z nuqtalar D sohaga

1. 
   Ushbu
   

Misollar
integralni hisoblang, bunda  _z C:
z  1_.

^{Yechish. Agar D} ^{D  C} 
soha deb quyidagi

D  ^z C:





z  ^{3 } soha olinsa


₂ 


^{birinchidan f}  ^z  ^

_z2


z  2i
funksiya golomorf bo‘ladi, ikkinchidan qaralayotgan

yopiq chiziq  shu sohaga tegishli bo‘ladi: ^{  D, 2i  D.}

Unda 2-teoremaga ko‘ra bo‘ladi.

2. 
   Agar
   

^f  ^z  ^{funksiya ushbu}

D _z C:

r  z  a

 R_ sohada golomorf

bo‘lsa, u holda



za

f _ z _dz

_r    R_

integralni qiymati  ga bog‘liq

emasligini ko‘rsating.

Yechish.Ixtiyoriy

₁, ₂

^sonlarni ^{r  }₁ ^{ R,}

r  ₂  R_

olaylik. Ular uchun

₁  ₂

bo‘lsin deb, ushbu

₁ _z C:

z  a
 _1,
 ₂ _z C:

z  a
 _2

yopiq chiziqlarni qaraylik. Ravshanki

G _z C:

₁ 

z  a  _2

soha uchun

G _z C:

r  z  a  R_

bo‘ladi.Unda 4-teoremadan

 ₂ ₁

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,



za ₁

f _ z _dz 



za ₂

f _ z _dz .

2.