Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Teorema 1.1.[4] Agar Y fazo to‘la bo‘lsa, u holda Banax fazosi bo‘ladi.
L_ X ,Y _

fazo ham to‘la, ya‘ni

^Isbot.^A_n ^{ L} ^{X ,Y}  ^{ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo‘lsin, ya‘ni}

n,m da

A_n  A_m

 0.

U holda ixtiyoriy x  X

uchun

A_n x  A_m x 

A_n  A_m

 x  0,

n,m  .

Shuning uchun

x  X

^da ^Anx ^{ Y}

ketma-ketlik fundamentaldir.Y to‘la fazo

bo‘lgani uchun _A_n x_

ketma-ketlik biror ^{y Y}

elementga yaqinlashadi. Demak,

har bir x  X

^ga ^Anx

ketma-ketlikni limiti bo‘lgan yagona ^{y Y}

element mos

qo‘yilyapti. Bu moslikni

A: X Y

orqali belgilaymiz:

Ax  lim A x  y.


n
n

Endi

A L_ X ,Y _

ekanligini ko‘rsatamiz. Chiziqliligi:

A_₁x₁  ₂x_{2 }  lim A_{n }₁x₁  ₂x_{2 }  lim_₁A_n x₁  ₂ A_n x_{2 } 

n n

 ₁ lim A_n x₁  ₂ lim A_n x₂  ₁y₁  ₂ y₂  ₁Ax₁  ₂ Ax₂ .

n n
Endi A ning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.Shartga ko‘ra,

A_n  A_m

 0,

n,m  .

Demak,

A_n  A_m

 A_n  A_m

 0,

n,m  .

Bundan _

A_{n }

sonli ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi.Haqiqiy

sonlar fazosi R to‘la bo‘lgani uchun, _

A_{n }

sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchidir,

yaqinlashuvchi ketma-ketlik esa chegaralangan bo‘ladi.Ya‘ni shunday

K  0

son

mavjudki,

n N

uchun

A_n  K

tengsizlik bajariladi.Norma ta‘rifidan

A_n x 

A_n  x

 K  x .

Bundan esa

Ax 

lim A x


n
n

 lim

n

A_n x

 K  x .

Endi

^An

ketma-ketlikni chiziqli operatorlar fazosi

L_ X ,Y _

da A ga yaqinlashishini

ko‘rsatamiz.   0 son uchun

n₀

son mavjudki, barcha

n  n₀ , p  N

va x  1

lar uchun

A_{n p} x  A_n x  

tengsizlik bajariladi. Agar so‘nggi tengsizliklardan

p  da limitga o‘tsak va normaning uzluksizligidan foydalansak, ixtiyoriy

n  n₀ va

x  1

lar uchun

Ax  A_n x  

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Shuning

uchun

n  n₀ da

A  A_n

 sup

x 1

Ax  A_n x

  . Demak,

L_ X ,Y _

fazodagi norma

n
ma‘nosida lim A  A. Shunday qilib,

n

L_ X ,Y _

fazo to‘la fazo ekan.

4. 
   Teskari operatorlar
   

Bizga

A: X Y

operator berilgan bo‘lsin. D_ A_ uning aniqlanish sohasi, Im A

esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin.

Ta’rif 1.20.[4] Agar ixtiyoriy

y Im A

uchun ^{Ax  y}

tenglama yagona yechimga

ega bo‘lsa, u holda A teskarilanuvchan operator deyiladi.

A:Y  X ,

D_ A^1_  Im A, Im A^1  D_ A_.

Bundan tashqari teskari

operatorning aniqlanishidan

A^1Ax  x,

x  D_ A_,

AA^1y  y,

y  D_ A^1_{ }1_

tengliklar kelib chiqadi.

Teorema 1.2.[4] A chiziqli operatorga teskari bo‘lgan chiziqlidir.

_A1

operator ham

Isbot.

Im A  D_ A^1_bo‘lgani uchun ixtiyoriy

₁,₁ sonlar va ixtiyoriy

y₁, y₂ Im A elementlar uchun

A^1 _ x

• 
   x
  

_  

_A1 _y

  A^1y

²

1 1 2 2 1 1 2 2

tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatish yetarli.

Ax₁  y₁ va Ax₂  y₂
deymiz. A

chiziqli bo‘lgani uchun

A_₁x₁  ₂x_{2 }  ₁y₁  ₂ y₂

³

. Teskari operator

ta‘rifiga ko‘ra,

x  A^1y , x  A^1y . Bu tengliklarni mos ravishda  va 

1 1 2 2 1 2

sonlarga ko‘paytirib qo‘shsak,  x   x   A^1y   A^1y

. Ikkinchi tomondan,

1 1 2 2 1 1 2 2

³ ^{danva teskari operatorning ta‘rifidan}

 x   x  A^1 _ y   y _ bo‘ladi.

1 1 2 2 1 1 2 2

Teorema 1.3.[4]

A: X Y chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun

Ax  

tenglama faqat x  

yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.

Teorema 1.4.[4] X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga

akslantiruvchi chiziqli A operator berilgan bo‘lsin. Im A da chegaralangan

_A1

operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday

^{x  D} ^A ^{lar uchun}

m  0

son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy

Ax  m x

⁴

tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.

Isbot.Zaruriyligi. A^1operator mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya‘ni

A^1y 

y , y  D_ A^1_.

U holda

Ax 

y  m

_A1 _y

 m x .

^Yetarliligi. ⁴^{shartdan A operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi.}

Teskarisini faraz qilaylik, _4_

shart bajarilsinu A o‘zaro bir qiymatli akslantirish

bo‘lmasin. U holda shunday

x₁, x₂  D_ A_,

x₁  x₂ elementlar mavjudki,

Ax₁  y ,

Ax₂  y . Bundan

A_ x₁  x_{2 }  

ekanligi kelib chiqadi. _4_tengsizlikka

ko‘ra x 

Ax , ixtiyoriy

y  Ax Im A

uchun

A^1y 

y . Bu yerdan

_A1

operatorning chegaralangan ekanligi hamda

A  ¹

m

tengsizlik kelib chiqadi.

Misol 1. С_0,1_fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni
B : C_0,1_  C_0,1_, _Bf _ x_  xf _ x_
operatorni qaraymiz. Bu operator teskarilanuvchan operator bo‘ladimi?

Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi

Bf  0

tenglamani,

ya‘ni

xf _ x_  0

tenglamani qaraymiz.Bu tenglama

С_0,1_

da faqat

f _ x_  0

yechimga ega. B operator 2-teoremani shartlarini qanoatlantiradi. Demak, B

teskarilanuvchan operator, ya‘ni B ga teskari operator mavjud.