Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Ta’rif 1.14.[4]

A: X Y chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday

С  0

son

mavjud bo‘lib, ixtiyoriy

x  D_ A_

uchun

Ax  C  x

tengsizlik bajarilsa, A

chegaralangan operator deyiladi.

Ta’rif 1.15.[4]

Ax  C 

x tengsizlikni qanoatlantiruvchi C sonlar to‘plamining

aniq quyi chegarasi A operatorning normasi deyiladi va u A bilan belgilanadi,

ya‘ni

A  inf C.

^{Bu ta‘rifdan ixtiyoriy x  D} ^A

ekanligini kelib chiqadi.

uchun

Ax 

A  x

tengsizlik o‘rinli

Misollar.

1. 
   С _1,1_ fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni
   

B : C_1,1_  C_1,1_, _Bf _x_  xf _x_{ }1_
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanini ko‘rsatib, normasini toping.

Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriliadi. Uzluksiz funksiyalarning ko‘paytmasi uzluksiz ekanligidan B operaatorning aniqlanish

sohasi

D_B_  C_1,1_

ekanligi kelib chiqadi.Endi B operatorni chegaralangan

ekanligini ko‘rsatamiz.

Bf  max xf _ x_  max x  max f _ x_ 1 f .

1x1

1x1

1x1

Bundan B operatorning chegaralanganligi va B  1

kelib chiqadi. Ikkinchi

tomondan, agar

^f₀  ^x ^{ 1 desak u holda}

^Bf0

 ^x ^{ x,}

Bf₀

 1, B   1

ni olamiz. Yuqoridagilardan

B  1 keli chiqadi.

2. 
   Endi fazoda ko‘paytirish operatorini, ya‘ni
   

A : ₂  ₂ ,

_ Ax<sub>

n</sub>  a_n x_n , sup a_n

n1

 a  

²

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.

Yechish. Ixtiyoriy

x  uchun

Ax  ekanligini ko‘rsatamiz:



n1

 ^Ax

₂ 





n1

a_n x_n

²  sup a

n1



n
2 _

n1

x ²  a²

x ² .

³

n

n
Bu munosabatlardan

^D ^A ^{ ekanini olamiz.Endi uni chiziqli ekanligini}

ko‘rsatamiz. A operatorni aniqlanishiga ko‘ra

_n n n
_ A_ x   y_  a_{n } x_n   y_{n }  a_nx_n   a_n y_n   _ Ax_   _ Ay_ .

^{Demak, A chiziqli operator ekan.Uning chegaralangan ekanligi} ³

tengsizlikdan

^{kelib chiqadi.Bundan tashqari} ³

tengsizlikdan

A  a

ekanligi ham kelib

chiqadi. A operatorning normasi

A  a

ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun

ⁿ n1
^fazoda ^e 

ortonormal sistemani olamiz. A operatorning aniqlanishiga ko‘ra,

n N

uchun

Ae_n  a_ne_n

tenglik o‘rinli.

A  Ae_n

 a_ne_n

 a_n  e_n

 a_n

munosabaydan kelib chiqadi. Bu tengsizlik

n N

da o‘rinli bo‘lgani uchun

A  sup a_n

n1

 a ni olamiz. Demak,

A  a

tenglik isbotlandi.

^{Ta’rif 1.16.[4] Agar} ^A_n ^{ L} ^{X ,Y} 

operatorlar ketma-ketligi uchun shunday

A L_ X ,Y _

operator mavjud bo‘lib,

A_n  A

^{ 0, n  bo‘lsa,} ^An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo‘yicha yoki tekis yaqinlashadi

n
deyiladi va

A ^u A shaklda belgilanadi.

Ta’rif 1.17.[4] Agar ixtiyoriy x  X

uchun

A_n x  Ax  0

^bo‘lsa, ^An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi

va A_n  Ashaklda belgilanadi.

s

Ta’rif 1.18.[4] Agar ixtiyoriy f Y ^ va ixtiyoriy x  X

uchun f _ A_n x_  f _ Ax_

bo‘lsa, _A_n operatorlar ketma-ketligi ^A operatorga kuchsiz yoki kuchsiz ma‘noda yaqinlashadi deyiladi.

Ta’rif 1.19.[4] Agar ixtiyoriy ^{x, y  H}

uchun _ A_n x, y_  _ Ax, y_

^bo‘lsa, ^An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi.

Misollar.

1. A_n : l₂  l₂ ,

 

A_n x  _ 0,0,...,0, x₁, x₂ , x₃,..._
operatorlar ketma-ketligining

 n 
kuchli va kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini tekshiring.

Yechimi. l₂ Hilbert fazosi bo‘lganligi uchun

A_n : l₂  l₂

operatorlar ketma-

ketligining kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini 4-ta‘rifdan foydalanib

tekshiramiz. Ixtiyoriy

y  _ y₁, y₂ ,..._l₂

uchun

2
_ A_n x, y_  _x, y _

2


^{ x}k ^ynk ^

k 1


k
x ² _ y ²

k n1

¹

Munosabat o‘rinli. y l₂
bo‘lganligi uchun

2



k
y ²  _ y

k 1

²  .
Shunday ekan

yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i

^{ y}k

k n1

n 

da nolga intiladi. Demak,

^An

operatorlar ketma-ketligi nol operator  ga kuchsiz ma‘noda

yaqinlashmaydi, chunki lim

n

A_n x  x

 lim x 

n

x  0.

2. 
   Quyida berilgan
   

P_n ,Q_n  L_l_{2 }

operatorlar ketma-ketligining kuchli va tekis

ma‘noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini tekshiring.

P_n : l₂  l₂ ,

Q_n  I  P_n ,

^{Pnx }  ^{x1, x2, xn,0,....,0,...}

^{Qnx } ^{0,....,0, xn1, xn2, xn3,...}

Yechish.Ixtiyoriy


x l₂
uchun



Q x  _ x
2

n nk

k 1

²  0, n  .
Chunki

2


x l₂
, ya‘ni

k
x ²  _ x

k 1

²  . Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig‘i

^{ x}nk

k 1

n 

^{da nolga intiladi. Demak} ^Qn

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli

^{ma‘noda yaqinlashar ekan.Bundan} ^{Pn  I  Qn}

operatorlar ketma-ketligining

^{birlik operator I ga kuchli ma‘noda yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi} ^Qn

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis ma‘noda yaqinlashadimi yoki



^{yo‘qmi, shuni tekshiramiz. Q x} 2 ^ _ ^x 2 ^{ x} 2 ^{.Bundan Q 1} ²

n nk

k 1

ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan,

^Qn^en1 ^{ e}n1^.

Bundan

Q_n 

^Qn^en1

1.

³ ²^va³

dan ixtiyoriy n  N

uchun

Q  1

ga kelamiz.

Demak, Q_n

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis (norma bo‘yicha)

^{yaqinlashmaydi. Bu yerdan} ^Pn

operatorlar ketma-ketligi birlik operator I ga

tekis yaqinlashmasligi kelib chiqadi.

2. 
   L_{2 }1 2,1 2_ Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va
   

n
 ^{A f}  ^{ xn f}  ^x^{formula bilan aniqlanuvchi} operatorga tekis yaqinlashishini tekshiring.

A_n operatorlar ketma-ketligining nol

Yechish. Ixtiyoriy

f  L_{2 }1 2,1 2_ uchun

1 2 1 2

A_n f

2 _{ }

1
1 2

xⁿ f _ x_ 2

dt  max

1 2x1 2

_x2n



1 2

f _ x_ 2

dt  ¹  f ²

₂2n

⁴

Bundan

A_n  _2n

tengsizlikni olamiz.Agar 0  A_n

ekanligini hisobga olib,

n  da limitga o‘tsak, lim

n

A_n  

 0.

Shunday ekan,

A_n operatorlar ketma-

ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi.
Yuqorida kuchsiz yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligi kuchli ma‘noda yaqinlashmasligiga (1-misol) va kuchli ma‘noda yaqinlashuvchi operatorlar ketma- ketligi norma bo‘yicha yaqinlashmasligiga (2-misol) misol keltirildi.

^{Lemma 1.1.[4] Agar} ^A_n ^{ L} ^{X ,Y} 

operatorlar ketma-ketligi biror

A L_ X ,Y _

^{operatorga tekis yaqinlashsa, u holda} ^An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga

ham kuchli ma‘noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isbot.Lemma shartiga ko‘ra

A_n  A

 0,n  .

U holda ixtiyoriy x  X

uchun

A_n x  Ax 

A_n  A  x .

sonli tengsizlikga ega bo‘lamiz.

0  lim

n

A_n x  Ax

 lim

n

A_n  A  x

 0.

^Demak, ^An

operatorlar ketma-ketligi A

operatorga kuchli ma‘noda ham yaqinlashar ekan.