Avtomatik boshqarish tizimlarini axborot bilan ta’minlash

Laplas almashtirishi: Laplas almashtirishi haqiqiy o'zgaruvc hili funksiyani (shu jumladan vaqt funksiyasi) kompleks o'zgaruvchili funksiyaga o'zgartiradi. Laplas almashtirishi differensial va integral tenglamalar o'rniga algebraik tenglamalardan foydalanishga imkon beradi, ya'ni differensiallash va integrallash operatsiyalari ko'paytirish va bo'lish operatsiyalari bilan almashtiriladi. Bundan tashqari, differensial tenglamalarning operator shaklida yozilishi vaqt sohasidan chastota sohasiga o'tishni yengillashtiradi. Avtomatik rostlash tizimlarini hisoblashda esa chastotaviy usullardan keng foydalaniladi.
Laplas o'zgartirishi yordamida nafaqat chiziqli differensial tenglamalarni yechish (operator metodi), balki chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarini analiz qilish uchun matematik apparatni ham olish mumkin.
Quyidagi integral yordamida haqiqiy o'zgaruvchi «_{ }» ga ega bo'lgan _{ } funksiyasini kompleks o'zgaruvchi «_{ }» ga ega bo'lgan _{ } funksiyaga almashtirishga Laplas almashtirishi yoki Laplas bo'yicha to'g'ri о'zgartirish deyiladi:

Teskari о 'zgartirish:

bu yerda, _{ } - funksiya originali; _{ } - funksiyaning kompleks o'zgaruvchilar (_{ } sohasidagi operator ko'rinishi, _{ } bo'lgan holda (barcha barqaror ABS) Laplas o'zgartirishini Furye o'zgartirishining xususiy holi deb qarash mumkin:
_{ } - to`g`ri yo'nalishda o'zgartirilgan va garmonik tarkibni aniqlovchi chastota fiinksiyasi;
_{ } - teskari o'zgartirish.
Uzatish funksiyasi: Avtomatik boshqarish nazariyasida uzatish funksiyasi muhim ahamiyatga ega bo'lgan parametrlardan hisoblanadi hamda kirish va chiqish signallarining o'zaro nisbati ko'rinishida aniqlanadi. Uzatish funksiyasi sistema yoki zvenoning dinamik xossalarini xarakterlab beradi. Laplas nazariyasi bo'yicha bo'yicha differensial tenglamalarni o'zgartirish uzatish funksiyasi ta'rifini juda qulay shaklga keltirish imkonini beradi. Uzatish funktsiyasi Laplas ko'rinishidagi chiqish kattaligining kirish kattaligiga nisbatidan iborat bo'lib, sistema boshlang'ich nol qiymatlari hisobga olinadi.
Uzatish funksiyasi quyidagi formulaga asosan topilishi mumkin:
_{ } .
Odatda, sistemaning uzatish funksiyasi ikkala ta'sirdan bittasi - berilgan ta'sir yoki toydiruvchi ta'sir ostida ko'rib chiqiladi. Shuning uchun umumiy holda tenglama quyidagicha yoziladi:
_{ }.
Ko'p hadlarni quyidagicha belgilab olamiz:


U holda, _{ } nisbat uzatish funksiyasini beradi. Bu yerda K(p) - m darajali ko'phad; D(p) - n darajali ko'phad.
Uzatish funksiyasi bir necha kompleks o'zgaruvchi _{ } funksiya hisoblanadi. O'zgaruvchi _{ } ning qiymatlari uzatish funksiyasi nolga aylansa nollari deyiladi, cheksizga aylansa uzatish funksiyasining qutblari deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, uzatish funksiyasining sur'at ildizlari uzatish funksiyasining nollari, maxraj ildizlari esa uzatish funksiyasining qutblari deyiladi.
Agar _{ } va _{ } hollariga mos ravishda uzatish fiinksiyasining qutblari _{ } va nollari _{ } ma'lum bo'lsa, u holda uzatish funksiyasi uchun quyidagi ifodaga ega bo'lamiz:
_{ }.
Bu ifodaga nisbatan ratsional kasrni elementar kasrlarga ajratish qoidasi qo'llanilsa:
_{ }.
Differensial tenglamani boshqacha tatbiq qilingan formada yozish Laplas almashtirishini qo'llashga asoslangan. Differensial tenglamaga Laplas almashtirishini qo'llashda tashqi ta'sir bo'lgunga qadar tizim tinch holatda deb hisoblanadi va barcha boshlang'ich shartlar nolga teng bo'ladi.
Odatdagi differensial tenglamalar bilan yoziluvchi real elementlar uchun (2.10) tenglama suratidagi ko'phad darajasi maxrajidagi ko'phad darajasidan kichik yoki teng bo'lishi kerak, ya'ni _{ } shart bajarilishi kerak. Uzatish funksiyasining barcha koeffitsiyentlari - element parametrlarini tavsiflovchi haqiqiy sonlardir.
Tartibi yuqori bo'lmagan (n<3) uzatish funksiyasi bilan yoziluvchi elementlar uchun standart formada uzatish funksiyasini yozish qabul qi­lingan. Shuning uchun uzatish funksiyasi shunday yoziladiki, maxrajining erkin hadlari a_n birga teng bo'lsin. Suratining erkin hadlari b_m uzatish koeffitsiyentiga teng bo'ladi va uni qovusdan tashqariga chiqaziladi.