Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Kirish

Tarixga e’tibor bersak chiziqli algebraning eng dastlabki bo’limi chiziqli algebravik tenglamalarining sistemasining (CHATS larning) nazaryasi bo’ladi. 1750- yili shvetsariyalik matematik olim Gabreil Kramer (1704-1752 yili) tomonidan nomalumlarning tenglamalari soniga teng va aniqlovchisi noldan farqli bo’lgan CHATS larni yechishning xatosi ishlab chiqildi. 1849-yili nemis matematiki Karil Fridrix Gaus (1777-1855) ChATS larning yechishning yangi usulini yaratadi. Bu usul bajaradigan amallarining soni bo’yicha eng oddiy usul bo’lib, har xil o’zgaruvchilar bilan koyfitsentlari taqribiy turda berilgan CHATS larni taqribiy yechish uchun ham foydalaniladi.

XIX asrning ikkinchi yarmida nemsmatematiki Georg Frobenius (1849-1917) tomonidan matritsaning rangi tushunchasi kiritilishi, CHATS larning birlikli va aniqlangan bo’lishining shartlari ularning koeffitsentlari orqali aniq turda ifodalashga imkon berdi(Kraniker-Kopelli teoramasi). Shunday qilib, XIX asrning oxirida CHATS larning umumiy nazaryasini yasash tomomlandi.

Agarda XVIII va XIX asrlarda chiziqli algebraning asosiy mazmunini CHATS lar va aniqlovchilar tashkil etgan bo’lsa, unda XX asrda vektorli fazo va u bilan bog’liq vektorli fazoda chiziqli turlantirish, chiziqli, qo’sh chiziqli va ko’p chiziqli funksiyalar tushunchalar muhim o’rin egallaydi.

Chiziqli algebraning sonli usullari – hisoblash harakteriga ega bo’lgan matematik masalalarning taqribiy yechimlarini topishning qulayli va natijali usullarini ishlab chiqish bilan shug’ullanadigan hisoblash matematikasi ilmining solishtirmali kichik bo’limi bo’ladi. Integrallarni, tenglamalarning ildizlarini, funksiyalarning exsterimum nuqtalarini, deffirensial tenglamalarning yechimilarini va ko’plagan boshqa matematik masalalarning yechimlarini taqribiy hisoblash usullari ularning barchasi hisoblash matematikasining bo’limlari hisoblanadi. Chiziqli algebraning hisoblash usullari – chiziqli algebraning atamalarida qalblashtirilgan masalalarni sonli yechish jarayonlarini izlashga va matematik tomondan ifodalashga atalgan, hisoblash matematikasining bo’limi bo’ladi.Biz quyidagi kurs ishida bunday masalalarning ayirmalari va ularni yechish usullari bilan tanishamiz.

Bular CHATS larni yechish va matritsalarning xos qiymatlarini va xos vektorlarini aniqlash, bular chiziqli algebra masalalari ichida eng katta ahamiyatga egalaridir.

Bulardan boshqa ko’p uchraydigan: berilgan matrissaga teskari matrissani topish, aniqlovchilarni hisoblash, algebralik ko’p hadning ildizlarini aniqlash masalalari o’z oldiga ahamiyatga ega bo’lmaydi va chiziqli algebraning asosiy masalasini yechishga yordam beradigan masalalar xizmatini ahtaradi.

Boshqa hisoblash masalalri bilan solishtirganda chiziqli algebraning masalalari, oldin oddiy bo’lib ko’rinadi. Masalan boshqacha emas kvadrat matritsali CHATS larni yechish masalasi nazariy tomonidan Kramer xatosi bilan yechiladi (Kramer Gabreil (1704-1752 yillari) shvetsariyalik matematik).

Chiziqli algebraning masalalarini yechishning qiyinchiliklarini tushunish, tez hisoblag’ich EHM larining paydo bo’lishiga olib keladi. Ular o’z navbatida chiziqli algebraning ba’zi katta hajmidagi masalalarni hisoblashga imkon berdi. Bu chiziqli algebrani hisoblash usullarining jadal ravishda rivojlanishiga sabab bo’ldi. CHATS larni yechish usullari to’g’ri (aniq) va iteratsion (taqribiy) usullar bo’lib, katta ikki guruhga bo’linadi. To’g’ri usullar deb, chekli sondagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida sistemadagi nomalumlarni aniq qiymatlarini aniqlashga imkon beradigan usullarga aytiladi. Bu usullar solishtirilganda oddiy va yanada har tomonlama hususiyatiga ega.

Shu bilan birga,to’g’ri usullar bir qancha kamchiliklarga ham ega. Oddatda bu usullar EHMning tezkor hotirasida sistemaning matritsasini to’liq saqlashni talab etadi va sitemaning tartibini katta qiymatlarda EHM ning hotirasida ko’p o’rin egallaydi. Bundan tashqari, to’g’ri usullar sistemaning matritsasining tuzilishini hisobga olmaydi.

Iteratsion usulla ketma-ket yaqinlashish usullari bo’lib, ular sistemaning yechimini ba’zi bir usul bilan tuzilgan vektorlarning ba’zi bir cheksiz ketma-ketligining limiti ko’rinishida beradi. Bunda yechimga boshlang’ich yaqinlashish qandaydir bir usul bilan topiladi yoki erkli turda saylab olinadi. Bundan so’ng iteratsiya deb ataladigan, ba’zi bir algoritm yordamida hisoblashning bir guruhi bajariladi. (“Iteratsiya “ atamasi lotinchadan “iteration” degan so’zdan olingan bo’lib, “takrorlash”, “qaytalash” degan ma’nolarni anglatadi.). Natijada yechimga yangi yaqinlashuv aniqlanadi. Bundan so’ng iteratsiyalarni bajarish sistemasining yechimi talab etilgan aniqlik bilan topilguncha davom etadi. Iteratsion usulllardan foydalanib CHATS larni yechish algoritmlari tog’ri usullar bilan solishtirilganda ancha murakkab bo’ladi.

Iteratsion usullar to’g’ri usullar bilan topilgan yechimlarning aniqligini ottirish uchun ham foydalanishi mumkin. Bunda aralash algoritmlar, ayniqsa yomon shartlashgan CHATS larni yechish uchun ko’proq qo’llaniladi. CHATSlarni yechishda chiziqli iteratsion jarayonlarining guruhiga statsional ya’ni oddiy iteratsiyalar va Zeydel usullari singari va statsional bo’lmagan ya’ni leraksatsiya usullari, chiziqli emas iteratsion usullarini pastga tushish usuli va qo’shma gradeintlar usuli singarilar qo’llaniladi.

Qo’shma gradientlar usulining qulayligi shundaki, chiziqli emas iteratsion usullarga kiruvchi bu usulda CHATS larni yechish davomida bizga juda yaxshi tanish bo’lgan bir qator vektorlik ayniyatlar hamda matematikaning juda ko’p uchraydigan ayniyatlari, yoki xossalaridan foydalanamiz. Bu esa o’z navbatida bizga bu usulni o’rganishda yoki masalalar yechishda qo’l keladi.

I.Nazariy qismi

1-§. Usulning asosiy ma’nosi

Bu metod

(1.1)

Haqiqiy simmetrik musbat ma’lum matritsali chiziqli tenglamalar sistemasini echish uchun mo’ljallangan. Bu usul o’zida CHATSlarni yechishning to’g’r va iteratsion usullarining eng yaxshi xossalarini birlashtirgan. Qo’shma gradientlar usuli, iteratsion usul hisobida hamma vaqt yaqinlashuvchi va uning hisoblash sxemasi o’zini o’zi to’g’irlash xossasiga ega bo’ladi. Shuningdek (1.1) sistemani yechish boshlang’ich yaqinlashuvchi bo’lgan vektorini bog’liqli tanlab olganda usulning hisoblash algaritmi bo’yicha bog’liq iteratsiyalardan ortiq bo’lmagan qadamda berilgan sistemaning aniq yechimini bo’ladi.

Qo’shma gradientlar usulida ham (1.1) sistemasini echimini aniqlash quyidagi funktsionalni minimallashtirish masalasi bilan bog’liq bo’ladi:

(1.2)

u esa ga nisbatan kvadrat funktsiya hisoblanadi. Masala shundan iborat, (1.1) sistema echimi =A^-1 – (1.2) funktsionaliga haqiqiy vektor fazosidan minimumini beradı. Haqiqatda (1.1), (1.2) dan A matritsa musbat aniqlangani uchun qiyidagi kelib chiqadı:

(1.3)

Bu yerda, (1.3) ning tenglik ishorasi faqat , yoki da múmkun bo’ladı. Shunday qilib, (1.1) sistemaning yechimini qidirish F() funksionaliga minimum beruvchi vektorni toppish masalasıga keltiriladı.

Avval, bunday vektorni qidirish qoidasini bayon qilishdan oldin funktsional gradient tushunchasiga qisqacha to’htalib o’tamiz. F() ba’zi funksional va () – y₁,y₂,… y_n kordinatalariga ega erkli birlik vector bo’lsin. Quyidagi ifodaga nuqtada yo’nalish bo’yicha F funktsionaldan olingan hosila deyiladı.:


hosila F funksionalining vektori yo’nalishida argumentining o’zgarishini xarakterlaydi.

F F,

Ni tahlil qilamiz, chunki

Buyerda vektori F funksionalining gradienti deyiladı. Oxirgi tenglikdan quyidagi kelib chiqadı

yoki = 1. bundan quyidagi kelib chiqadı:

Bu erda,, agar yunalishi gradient yunalishi bilan mos kelsa, u holda , ham o’rinli.Chunki, gradientning yunalishi berilgan nuqtada F funksionalining eng katta tezligining ortishi yunalishi bo’ladi, gradientga qarama-qarshi yunalish esa kamayishining eng kichik tezligining yunalishi bo’ladi. mazkur oxirgi yunalish qoshma gradietlar metodida F() funksionalining minimumini anıqlashda qo’llaniladi.