Bessel funksiyalarining nollari

Bessel funksiyasi uchun integral tasavvur

f ormula chap tomondagi funksiyaning Laurent qatoridir. Kompleks o’zgaruvchilar nazariyasidan ma’lumki, qator koeffisienti (bizning holda bu J_n) uchun quyidagi formulaga egamiz:
n butun son bo’lganda C kontur koordinat boshini o’z ichiga olgan yopiq konturdir, masalan, birlik radiusli aylana.
Birinchi turdagi Bessel funksiyalari.
B irinchi turdagi Bessel funksiyalari. Ushbu
y oki

t englama Bessel tenglamasi deyiladi, bunda v o'zgarmas son tenglamaning indeksi deb ataladi. Tenglamani gipergeometrik tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas. Buning uchun

a lmashtirish bajarsak,
t englama hosil bo’ladi. a→ ∞ va b→ ∞ da

tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamada almashtirib bajarib

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama esa Bessel tenglamasining o’zginasidir. v > O bo’lsin. Keyingi hisoblashlarni sodsalashtirish maqsadida tenglamada

almashtirish bajaramiz. U xolda z funksiyani aniqlash uchun

t englamaga ega bo'lamiz. Bu tenglamaning yechimini
d arajali qator ko'rinishida izlaymiz. Bundan
Xosil bo'lgan qatorlarni tenglamaga qo’yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

A niqmas koeffitsientlar usuliga asosan, x ning barcha darajalari oldidagi koeffitsientlarni nolga teng-laymiz:

b undan

y uqoridagi tenglamalarga asosan

S hunday qilib, tenglamaning yechimi ushbu

qator bilan ifodalanadi. Bunda s₀ — o’zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin. Dalamber belgisiga asosan, qatorning x ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’lishini tekshirib kurish qiyin emas. Darajali qatorni hadlab differensiallash (yaqinlashish oraligi ichida) hamma vaqt qonuniy bo’lgani uchun qator bilan ifodalangan z xaqiqatdan ham tenglamaning yechimi bo’ladi.