Бевосита хисоблашлар ёрдамида ушбу

4- §. Юқори ярим текисликда тенглама учун шакли ўзгарган
масаласи .

Энди (3.42) формуладан фойдаланиб ярим текисликда шакли ўзгарган масаласи ечимини берувчи формулани келтириб чиқарамиз.

ярим текисликда ўқининг кесмаси ва

нормал чизиқ билан чегараланган бир боғламли соҳани орқали белгилаб олайлик.
соҳада (3.42) формулани (3.11) тенгликни эътиборга олиб ушбу кўринишда ёзиб оламиз.
(3.43)
бу ерда
(3,44)
, (3.45)
(3.46)
интеграларни

да баҳолаймиз, бу ерда .
1. Дастлаб ни баҳолаймиз. (3.28) га асосан ни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз.
(3.47)
(3.47) тенгликнинг ўнг томонида интеграл ўзгарувчиларни ушбу
(3.48)
кўринишда алмаштирамиз. Бу ердан
(3.49)
(3.49) га асосан етарли катта лар учун
(3.50)
баҳога келамиз. Юқоридагига ўхшаш ушбу


(3.51)
баҳоларни исботлаш мураккаб эмас.
Энди (3.50) ва (3.51)га асосан ушбу
(3.52)
Баҳони етарли катта лар учун ҳосил қиламиз. Олдиндан фараз қиламиз:

(3.53)

бу ерда етарли кичик мусбат сон . Энди (3.53) муносабатлар ва (3.50) (3.52) баҳоларга асосан етарли катта учун ушбу

тенгсизлакка келамиз, яъни

. (3.54)

Шундай қилиб , (3.54) да да лимитга ўтиб ушбу

(3.55)
тенгликни ҳосил қиламиз.
Юқоридагидек (3.53) фаразга асосан . Бу ердан
(3.56)
тенглика эга бўламиз. Шундай қилиб, (3.55) ва (3.56)га асосан
. (3.57)
Энди ни баҳолаймиз.

Дастлаб ни ҳисоблаймиз.
(3.58)
Бевосита ҳисоблашларни бажариб , ушбу муносабатларга келамиз:

а)

б) ,
в) . (3.59)
Энди ушбу ҳосилани ҳисоблаймиз

тенгликларга келамиз. Бу ерда ушбу

формулага асосан

тенгликка келамиз. Бу ерда

автотрансформация формуласини қўллаб, ушбу якуний натижани ҳосил қиламиз


(3.60)


интегралда (3.48) алмаштиришларни бажариб (3.59), (3.60) ифодалар учун етарли катта ларда ушбу
а) ,
б) , (3.61)
в)
баҳоларни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб, (3.61) га асосан (3.58) дан ушбу

баҳони ҳосил қиламиз, бу ердан эса (3.53) фаразга асосан ушбу

баҳони ҳосил қиламиз, бу ерда
(3.62)
Энди етарли катта лар учун интегрални баҳолаймиз.
(3.63)
Бевосита ҳисоблашлар ёрдамида ушбу
а) ,
б) , (3.64)
в)
тенгликни хосил қилиш мумкин. Энди интегралда (3.48) алмаштиришларни бажариб етарли катта учун ушбу
а) ,
б) , (3.65)
в)
баҳоларга эга бўламиз. Шундай қилиб, (3.65) баҳоларга асосан (3.63)ни ҳисобга олиб ушбу

баҳога келамиз. Бу ердан эса (3.53) фаразга кўра ушбу



баҳони ҳосил қиламиз, бундан
. (3.66)
Шундай қилиб, (3.66) ва (3.62)га асосан
. (3.67)
Энди ни баҳолаймиз
. (3.68)
(3.68) тенгликнинг ўнг томонидаги интегралда (3.48) алмаштиришларни бажарамиз ва етарли катта лар учун (3.52)ни ҳисобга олиб , ушбу


(3.69)
баҳони ҳосил қиламиз, бу ердан
. (3.70)

Энди (3.43) формуладан интегралларда да лимитга ўтиб (3.57), (3.67), (3.70) ларга асосан ярим текисликда (3.1) тенглама учун шакли ўзгарган масаласининг ечимини берувчи

(3.71)
формулани ҳосил қиламиз.
Энди ҳосил қилинган (3.71) ечим хақиқатдан ҳам (3.53) муносабатларни қаноатлантиришини кўрсатамиз.
1. ечимнинг чегараланган еканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун (3.71) да қуйидагича алмаштиришни бажарамиз:


(3.72)
У ҳолда (3.71)дан ушбу тенгликни хосил қиламиз


(3.73)
функциянинг (3.5) хоссасига асосан



кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда .
Агар нуқта
(3.75)
контурда жойлашган деб фараз қилсак , у ҳолда (3.74) дан ушбу


(3.76)
баҳони ҳосил қиламиз.

2. ни ҳисоблаймиз: (3.74) тенгликдан

Бу ерда (3.72) алмаштиришни бажариб, ушбу

ифодага эга бўламиз ва (3.75) фаразга асосан ушбу

(3.77)
бахони ҳосил қиламиз.
3. ни ҳисоблаймиз:



Бу ерда интеграл ўзгарувчисини (3.72) формула билан алмаштириб ушбу
(3.78)

тенгликка келамиз ва (3.75)га асосан қуйидаги баҳони ҳосил қиламиз

(3.79)

Шундай қилиб, (3.76), (3.77) ва (3.79)га асосан ечим (3.55) муносабатни қаноатлантиришига ишонч ҳосил қиламиз.

Энди (3.71) ечим
(3.80)
шартни қаноатлантиришини кўрсатамиз. Бунинг учун (3.71) ечимни ушбу


(3.81)

кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда

(3.81) тенгликдан бўйича ҳосила оламиз

(3.82)
(3.82) тенгликда интеграл ўзгарувчини шаклида алмаштирамиз, у ҳолда
(3.83)
(3.83) тенгликни , айниятга асосан ушбу


(3.84)

кўринишда ёзиб оламиз.

Қуйидаги интегралларни ҳисоблаймиз.
, (3.85)
. (3.86)
Дастлаб ни хисоблаймиз, бунинг учун (3.85) да интеграл ўзгарувчисини кўринишда алмаштирамиз, у ҳолда

Бу ерда

формуладан фойдаланиб [9]
(3.87)
тенгликка келамиз.
Энди интегрални ҳисоблаймиз, бу ерда хам интегрални ҳисоблашдаги усулни такрорлаб,
(3.88)
тенгликни ҳосил киламиз.
(3.87) ва (3.88) тенгликлардан ушбу
(3.89)
тенгликнинг тўғрилигига ишонч ҳосил қилиш қийин эмас.
Энди ифодани баҳолаймиз. (3.84) (3.89) тенгликларга
асосан
(3.90)
Бу ерда
функциямиз ораликда узлуксиз ва чегараланган бўлгани учун
(3.91)
-ихтиёрий кичик мусбат сон бўлсин. У ҳолда шундай мусбат сони мавжудки ва интегралларнинг яқинлашувчилигидан
(3.92)
(3.93)
тенгсизликлар ўринли бўлади. (3.91)-(3.93) тенгсизликларни ҳисобга олиб (3.90) тенгсизликни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз.
(3.94)
функциянинг узлуксизлигидан етарли кичик ва учун
(3.95)
(3.94) тенгсизликдан (3.95) тенгсизликни ҳисобга олиб ,етарли кичик лар учун ушбу

тенгсизликни ҳосил қиламиз,бу ердан нинг ихтиёрийлигидан фойдаланиб
(3.96)
тенгликни ҳосил қиламиз.
Шакли ўзгарган масаласини ечишдаги усулларни такрорлаб Дирихле масаласи ечими учун ушбу

формулани ҳосил қилиш қийин эмас.