Бевосита хисоблашлар ёрдамида ушбу

3- §.Чекли соҳада тенглама ечимининг интеграл
ифодаси.
Ушбу айниятни қараймиз
(3.23)
бўлсин.
-учлари ва нуқталарда бўлган ярим текисликда ётувчи силлиқ Жордан чизиғи ҳамда ўқининг кесмаси билан чегараланган бир боғламли соҳа бўлсин.
эгри чизиққа параллел эгри чизиқ ва тўгри чизик кесмаси билан чегараланган соҳани қараймиз.
ва ларни шунчалик кичик танлаймизки, нуқта соҳанинг ичида жойлансин .
соҳадан маркази нуқтада бўлган кичик радиусли доира ажратамиз ва соҳанинг қолган қисмини билан белгилаймиз.
соҳада функция (3.20) тенгламанинг регуляр ечими бўлади.

соҳа бўйича (3.23) айниятни интеграллаб, сўнгра унга ушбу



Грин формуласини қўлласак ,
(3.24)
айният ҳосил бўлади, бу ерда
. (3.25)

Фараз килайлик , функция тенгламанинг регуляр ечими бўлсин,

эса

тенгламанинг фундаментал ечими булсин, у ҳолда (3.24) ни қуйидагича ёзиб оламиз

, (3.26)
(3.27)
бу ерда
(3.28)
операторга функциянинг конормал ҳосиласи дейилади . Қуйидаги ҳисоблашларни бажарамиз.
(3.29)

Энди (3.29) ни ва ушбу формулани ҳисобга олиб, (3.27) тенгликни куйидаги куринишда ёзамиз:


(3.30)
Эгри чизиқли интегралнинг аддитивлик хоссасига кўра (3.25) га биноан (3.30) тенгликни
(3,31)

кўринишда ёзамиз, бу ерда эгри чизиқнинг тўғри чизиқ билан кесишиш нукталарининг абсциссалари. эса ажратилган доиранинг чегараси.

яъни бўлганда (3,31) тенгламанинг чап қисмининг лимитини ҳисоблаймиз, дастлаб баъзи соддалаштиришлар бажарамиз.
(3.32)
Ҳисоблаймиз:
_, (3.33)
бу ерда
(3.34)
(3.33) ва (3.34) тенгликларга асосан (3.32) тенгликни қуйидаги кўринишда ёзамиз:


(3.35)

Энди да қутб координаталар системасига ўтамиз, яъни интеграл ўзгарувчисини қуйидагича алмаштирамиз.

,

Бу тенгликларга асосан

(3.36)
бўлгани учун

Энди (3.36) тенгликда да лимитга ўтиб
(3.37)
тенгликни ҳосил қиламиз.

(3.37)нинг ўнг қисмидаги интегрални ҳисоблаймиз.

Шундай қилиб

, (3.38)
бунда ни
(3.39)
деб оламиз.
Натижада

тенгликка эга бўламиз.
Шундай қилиб (3.31) тенгликни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз.
(3.40)
Бунда


У ҳолда (3.40) тенгликни
(3.41)
кўринишда ёзиш мумкин.
Энди (3.13)ни ҳисобга олган ҳолда (3.41) тенгликда , бўлганда лимитга ўтсак, қуйидагига эга бўламиз.
(3.42)

Шундай қилиб, (3.1) тенгламанинг ечими ни соҳа ичидаги нуқтадаги қийматини нинг соҳа чегараси даги қиймати ва ҳосиласи орқали ифодаловчи муносабатга келдик. Бу муносабат -типидаги масалаларни ечишда асосий формула ҳисобланади .