Бевосита хисоблашлар ёрдамида ушбу

2 -§. Тенгламанинг фундаментал ечимлари.

(3.1) тенглама ярим текисликда эллиптик типдаги тенглама бўлиб ўқида параболик типдаги тенгламага айланади, бундан ташкари олдидаги коэффициент ўқида биринчи тартибли махсусликка, олдидаги коэффициент эса , тартибли махсусликка эга.

(3.1) тенгламанинг фундаментал ечимини
(3.6)
кўринишда излаймиз, бу ерда

,
,
- янги номаълум функция. (3.6) ифодани (3.1) га қўйиб, га нисбатан ушбу тенгламага келамиз.
, (3.7)
бу ерда
,






Энди лар учун келтирилган ифодаларни ҳисобга олиб (3.7) тенгламани ушбу кўринишга келтирамиз.



ёки
, (3.8)
бу ерда , . Бу тенглама Гаусс тенгламаси булиб, у нуқта атрофида иккита чизиқли эркли ечимга эга:


(3.9)


. (3.10)

(3.9) ва (3.10) тенгламалардан ва нинг қийматларини (3.6) формулага қўйиб (3.1) тенгламанинг қуйидаги иккита фундаментал ечимини ҳосил киламиз.

(3.11)
(3.13)
бу ерда

ва функциялар ўзгарувчилар буйича тенгламанинг, ўзгарувчилар бўйича эса тенгламанинг фундаментал ечимларидир.Бевосита ҳисоблашлар ёрдамида
, (3.13)
(3.14)
тенгликларни исботлаш мумкин.
Энди -гипергеометрик функциянинг махсус ифодаси:
(3.15)
дан фойдаланамиз, бу ерда


, (3.16)


(3.17)

(3.15) тенгликка асосан (3.11) фундаментал ечимни ушбу

кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда
(3.18)
(3.19)
(3.1) тенгламага Лагранж маъносидаги қўшма тенглама қуйидаги кўринишга эга
(3.20)
Бевосита ҳисоблашлар ёрдамида ушбу
(3.21)
айниятни туғрилигига ишонч ҳосил килиш мумкин.
Шундай қилиб , агар функция ўзгарувчи бўйича (3.1) тенгламанинг ечими бўлса, у ҳолда
(3.22)

функция ўзгарувчи бўйича (3.20) қўшма тенгламанинг ечими, ўзгарувчилар бўйича (3.1) тенгламанинг ечими бўлишлиги келиб чиқади.