Bir nexa ozgaruvchi funksiyaning xususiy hosilalari va to'liq differensial murakkab funksiyaning xosilalari oshkormas funksiyaning xosilslsri
Download 463 Kb.
|
BIR NEXA OZGARUVCHI FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI VA TO\'LIQ DIFFERENSIAL MURAKKAB FUNKSIYANING XOSILALARI OSHKORMAS FUNKSIYANING XOSILSLSRI
- Bu sahifa navigatsiya:
- Murakkab funksiyaning hosilasi.
Urinma tekislik va sirtga normal.
Sirtga nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik deb sirtda nuqta orqali o’tkazilgan urinmalar joylashgan tekislikga aytiladi. Sitga nuqtadagi normal deb nuqtadan o’tuvchi va bu nuqtada o’tkazilgan urinma tekislikka perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqqa aytiladi. Agar sirt tenglama bilan berilgan bo’lsa, u xolda nuqtada bu sirtga o’tkazilgan urinma tekislik tenglamasi: nuqta orqali sirtga o’tkazilgan normalning kanonik tenglamasi quyidagicha bo’ladi: Agar sirt tenglama bilan oshkormas ko’rinishda berilgan bo’lsa sirtning nuqtasida o’tkazilgan urinma tekislik tenglamasi Ko’rinishda normal tenglamasi esa Ko’rinishda bo’ladi. 7.3.2 funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy xosilasi deb birinchi tartibli xususiy xosilalardan olingan xususiy xosilalarga aytiladi. Ikkinchi tartibli xususiy xosilalar quyidagicha belgilanadi: va xususiy xosilalar aralash xosilalar deyiladi. Aralash xosilalar uzluksiz o’tgan nuqtalarda ularning qiymatlari teng bo’ladi. Uchinchi va undan yuqori tartibli xususiy xosilalar xam shunday aniqlanadi. 1. Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b) da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi). Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va (f((x)))’=f’(u)’(x) (1) formula o‘rinli bo‘ladi. Isboti. u=(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib u=’(x)x+x (2) ko‘rinishda yozish mumkin, bu erda x0 da 0. Shunga o‘xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini y=f’(u)u+u (3) ko‘rinishda yozish mumkin, bunda u0 da 0. So‘ngi (3) tenglikdagi u o‘rniga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada y=f’(u)(’(x)x+x)+(’(x)x+x)= f’(u)’(x)x+(f’(u)+’(x)+)x tenglikka ega bo‘lamiz. Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni bilan belgilaymiz. Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan = f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi. Misol. y= funksiyaning hosilasini toping. Yechish. Bu erda y=u4, u= . Demak, y’=(u4)’ ’= =4u3 =8 . Amalda (1) tenglikni yoki yx’=yu’ux’ ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi: Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng. Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan yu’ marta tez, u esa x ga nisbatan ux’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan yu’ux’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni yx’=yu’ux’. Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda yx’=yu’ut’tx’ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Download 463 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling