Birinchi dars. Oxiridan echiladigan masalalar Raqamlar sehri

BOLALAR	1	2
3
Oxirda olmalar soni	8	8	8
Uchinchi bola	8:2=4	8:2=4	8+4+4=16
Ikkinchi bola	4:2=2	4+2+8=14	16:2=8
Boshidagi olmalar soni	2+7+4=13	14:2=7	8:2=4

Uchinchi bola boshqa bolalarga olma berishdan oldin olmalar soni

8: 2 = 4 8: 2 = 4 8 + 8 + 4 = 16
Ikkinchi bola boshqa bolalarga olma berishdan oldin olmalar soni

4: 2 = 2 4 + 2 + 8 = 14 16: 2 = 8

Olma soni dastlab 2 + 4 + 7 = 13 14: 2 = 7 8: 2 = 4
Shunday qilib, birinchi, ikkinchi va uchinchi bolalar mos ravishda 13, 7 va 4 ta olmaga ega bo'lishgan.
Javob: 13 ta olma, 7 ta olma, 4 ta olma.

3. Bir kuni savdogar dangasaga pul ishlashni taklif qilibdi. “Mana shu ko`prikdan otsang pillaring ikki marta ko`payadi- depti u. Ko`prikdan qanch xoxlang shunca o`tishing mumkun., lekin xar koprikdan o`tganingdan so`ng menga 24 so`m berasan”. Dangasa rozi bo`lipti va … 3 marta ko`prikdan otganda uni puli tugapti. Uni boshida necha puli bo`lgan? 

Echish:

Uchinchi o`tishda dangasaning puli tugagan bolsa, u savdogarga 24 so`m bergan. Demak ko`prikdan o`tishdan uchinchi marta o`tishdan oldin unda12 som bo`lgan. Ikkinchi marta ko`prikdan o`tishda 12 + 24 = 36 so`m bo`lgan, 36 : 2 = 18 . O`lab ko`rsak dangasaning puli ko`prikdan birinchi marta o`tganida 18 + 24 = 42 so`m bo`lgan, ko`prikdan birinchi marta o`tishdan oldin esa – 42 : 2 = 21 so`m bo`lgan. Shunday qilib, dangasada boshida 21 so`m. bo`lgan

4. Sayyohlar.

Bir guruh sayyohlar lagerga qarab ketishdi. Birinchi kuni ular yo'lning 1/3 qismini, ikkinchi kuni – qolgan yo`lni 1/3 qismini, uchinchi kun qolgan yo`lning 1/3 qismini bosib o'tishdi. Natijada ular lagerga etishlariga 32 km qoldi. Sayyohlarning yo‘li necha kilometr bo`lgan?
Ehish:
lagergacha 32 km qoldi va uchinchi kuni sayyohlar qolgan qismini bosib o'tishdi, keyin 32 km qolgan qismning oxirgi 2/3 qismini tashkil qiladi, so'ngra qolgan 32: 2/3 = 48 (km) bo'ladi. 48 km birinchi kundan keyin o'tadigan yo'lning uzunligining 2/3 qismini tashkil etadi. Keyin davom etadigan butun yo'l 48 ga teng bo'ladi: 2/3 = 72 (km). Ushbu 72 km yana 2/3 ni tashkil qiladi, sayyohlarning butun yo'nalishi 72: 2/3 = 108 (km) ni tashkil etadi.
Javob: 108 km

1. 
   5. G'ozlar.
   

G'ozlar ko'llar ustidan uchib utishrdi. G'ozlar ko`lning har biriga yarmi va yrmi g`oz qo`nishdi va qolgani uchishda davom etdi. Hammalari ettita ko'lga qo`nishdi. G`ozlar galasida hammasi bo`lib nechta g'oz bor edi?

Echish:
Xamma g'ozlar so'nggi ko'lgacha qolmagan va 1dona g'oz oxirgi ko`lga qo`ndi. Keyin

1 + 12 ∙ 2 = 3 g'oz oltinchi ko'lga kelib qo`ngan.

Va beshinchisiga 3 + 12 ∙ 2 = 7,

to'rtinchisiga 7 + 12 ∙ 2 = 15,

uchinchisiga - 15 + 12 ∙ 2 = 31,

ikkinchisiga 31 + 12 ∙ 2 = 63,

1. 
   birinchisiga 63 +12 ∙ 2 = 127 g'oz.
   Javob: 127 ta g'oz
   6. Dehqon va podshoh.
   

Bir dehqon podshohning oldiga kelib: "Shoh, menga bog'ingizdan bitta olma olishga ruxsat bering", deb iltimos qildi. Podshoh unga ruxsat berdi. Dehqon boqqa borib qarasa butun bog' uch qavatlili to'siq bilan o'ralgan. Har bir to`siqda bittadan eshik bor va har bir darvoza yonida qorovul turadi. Birinchi qorovul oldiga dehqon kelib: "Shoh menga bog'dan bitta olma olishga ruxsat berdi", dedi. "Olavering, lekin chiqishda siz menga olgan olmaning yarmini va yana bittasini berishingiz kerak", - deb qorovul shart qilishdi. Ikkinchi darvozani qo'riqlab turgan ikkinchi va uchinchi qorovullar ham unga shunday deb takrorlashdi. Uchta soqchiga kerakli qismlarni berganidan keyin bitta olma qolgishi uchun dehqon qancha olma olishi kerak?

Oxirgi darvozadan oldin, dehqonda (1 + 1) 2 = 4 olma

ikkinchisiga qadar - (4 + 1) ∙ 2 = 10,

birinchi eshikdan oldin - (10 + 1) ∙ 2 = 22 olma bo'lishi kerak.

Javob: 22 ta olma.

7. 
   Ona va qizninig Yoshi birgalikda 98 yosh. Ona 22 yosh bo`lganida qizi tug`ilgan. Ularning har birini Yoshi nechada?
   

Echish

Ona 22yoshida qizini dunyoga keltirgan bo`lsa, demak ularning yoshlarini farqi 22 yil. Unda qizning ikkilangan yosi

98 – 22 = 76 yosh. Qizning yoshi 22 da ekan. Onaning yoshi 38 + 22 = 60 da.

Javob. 38 va 60 yosh.

8. Masha va ayiqlar

Masha do'stlari ayiqlarga tort olib keldi. Katta ayiq tortni 2 kunda, o'rtancha ayiq - 3 kunda, kichik ayiq-6 kunda tortni eya olishi ma'lum bo`lsa, ayiqlar birgalikda tortni necha kunda yeya olishadi?

Echish:

Katta ayiq tortni 2 kunda yeydi, 1 kunda u tortning 1/2 qismini yeydi.
O'rtancha ayiq tortni 3 kun ichida eydi, 1 kunda u tortning 1/3 qismini yeydi.
kichik ayiq tortni 6 kunda yeydi, 1 kunda u tortning 1/6 qismini yeydi.
Birgalikda, bir kunda uchta uchta ayiq 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 bitta tortni eyishadi.
Javob. 1 kun.
9. Ko'lda nilufargullar

Ko'lda nilufargullar gullashdi. Har kuni gullar soni ikki baravar ko'payrdi va 20 chi kuni butun ko'l gullar bilan qoplandi. Ko'lning yarmi necha kunda gul bilan qoplandi?

Javob: 19 kun ichida.
10. Men bir raqamni o`yladim, uni ikkiga ko'paytirdim va unga uchni qo'shdim va 17 raqamini oldim.
echish
17 - 3 = 14 - 3 ni qo'shishdan oldin raqam.
14: 2 = 7
Javob. 7 –o`ylangan raqam.
11. Oyim bolalariga o'rik sotib oldi - Vanya, Nina va Misha. Bolalar o'riklarni o'zlari orasida teng ravishda taqsimlashlari kerak. Vanya birinchi bo'lib o'riklarni sanadi, uchinchi qismini olib ketdi. Keyin Nina u birinchi kelganiga ishondi va qolgan o'riklarni sanab, bu o'riklarning uchdan birini oldi va ketdi. Nihoyat Misha kelib, qolgan o'riklarning uchdan birini oldi. Shundan so'ng, 8 drenaj qoldi. Onasi bolalariga qancha o'rik sotib oldi?
Yechim: Keling, oxiridan qaror qilishni boshlaylik. Maydoni drenajlashga 8 kishi qoldi, chunki Misha 1/3 qismini oldi, shuning uchun 2/3 qoldi.
8: 2 * 3 = 12 cho'kish - Nina ketganidan keyin chapda
12: 2 * 3 = 18 cho'kish - Vani chapdan keyin
18: 2 * 3 = 27 o'rik - onasi sotib oldi
1-muammo: Men bir raqamni homilador qildim, uni 7 ga ko'paytirdim, 15 ga qo'shdim va 50 ga bo'ldim. Qanday raqamni tasavvur qildim?
Yechim: muammoning echimini "oxiridan" boshlang. Barcha harakatlar natijasida biz 50 raqamini oldik. Keyin 15ni 50 ga kiritamiz va 15ni qo'shmasdan oldin (35) sonini olamiz. Keyin birinchi harakatda olingan sonni ettiga bo'lamiz va shu bilan istalgan 5 ni olamiz.
Tekshirish: 5 · 7 = 35; 35 + 15 = 50.
Shunday qilib, teskari zarbadan foydalanib, biz bu muammoni osongina echdik.
Olimpiada muammolarini hal qilish:
1). Uch aka-ukaning o'rtacha kattasi eng kichikidan 2 yosh katta, katta akasi esa to'rt yoshli boshqa aka-ukalarnikidan ko'proq. Agar ular 96 yoshda bo'lsa, har bir aka-ukaning yoshini toping.
Yechish: Katta akaning ikki karra yoshi, barcha uch aka-ukalarning yillari yig'indisidan 4 yoshga ko'p, shuning uchun 96 + 4 = 100 yoshga teng. Shunday qilib, katta akaning yoshi 100: 2 = 50 yosh. O'rta akaning juft yoshi uning yillari va kichik ukasining yillaridan 2 yil ko'proq va shuning uchun (96-50) + 2 = 48 ga teng. Shunday qilib, o'rta akaning yoshi 48: 2 = 24 yosh. Endi akaning yoshini topish kerak: 96-50-24 = 22 yosh. Javobni olamiz: eng kichigi - 22, o'rta - 24, eng keksa - 50
Mustaqil echim uchun topshiriqlar:
1). Men bir raqamni o'ylab topdim, uni 8 ga ko'paytirdim, natijani 10 ga kamaytirdim va yangi natijani 5 ga ko'paytirdim. 70 ga chiqdi. Men qaysi raqamni rejalashtirmoqchi edim. [darslik uchun didaktik materiallar G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin "6-matematika"]
2). Bolalar kitob jamg'armasi kutubxonasi kitoblarning yarmini va yana o'ttizta kitobni internat maktabiga, so'ngra qolgan va o'ntadan ko'proq kitobni sovg'a qildi. Kutubxonada 150 ta bolalar kitoblari qolgan. Dastlab kutubxonada bolalar kitoblari nechta edi?
1. Bu eski vazifa. Tovuq sotish uchun qishloqqa bir ayol keldi. Birinchi buyurtmachi barcha tuxumlarning yarmini va undan yarim tuxumni sotib oldi. Ikkinchi xaridor qolgan tuxumning yarmini, qolgan yarmini sotib oldi. Uchinchisi atigi bitta dona tuxum sotib oldi. Shundan keyin dehqonda hech narsa qolmadi. U bozorga nechta tuxum olib keldi?
2. Leonty Magnitskiyning "Arifmetika" kitobidan topshiriq. Ota o'g'lini maktabga yuborishga qaror qildi va o'qituvchidan so'radi: "Ayting-chi, sizning sinfingizda nechta o'quvchi bor?" O'qituvchi javob berdi:
"Agar mening talabalarim hali ham ko'p bo'lsa, ularning yarmi va to'rtinchi qismi va sizning o'g'lingiz bo'lsa, unda mening yuzta shogirdim bo'ladi." Sinfda nechta talaba bo'lgan?
3. Ona olma sotib oldi. U ikkitasini o'ziga olib, qolganini uch o'g'liga bo'lib berdi. U barcha olmalarning birinchi yarmini va olma yarmini, qolgan yarmining ikkinchi yarmini va olmaning ikkinchi yarmini, yangi qolganning uchdan birini va olmaning qolgan yarmini berdi. Onasi nechta olma sotib oldi va o'g'illarning har biri nechta olma oldi?
4. Ular samovar solishdi, keyin 7 marta choy ichish uchun o'tirishdi va har safar undagi suvning yarmini ichishdi. Ma'lum bo'lishicha, shundan keyin faqat bir stakan suv qolgan. Bir choyxonadan oldin samovarda qancha suv bor edi?
5. Men bir raqamni o'ylab topdim, 57-ni olib, 2-ga bo'ldim va 27-ni oldim. Qaysi raqamni tasavvur qildim?

6. Bayram uchun tort sotib oldim. Ammo ular buni juda qiziq holda yeydilar - bir kishi tortga kelib, qolgan narsaning yarmini yedi. Jami 5 kishi pirojniy yedilar, kelgan (oxirgi) beshinchi odamga esa qolgan har bir narsani - bir funt tortni berdilar. Kek boshida qancha tortdi?

7. Kimdir darsning 1/4 qismini o'tkazib yubordi. Ertasi kuni u darsning yarmini o'tkazib yubordi. Har kuni qatnashmayotganlar soni ikki baravar ko'paydi. O'ninchi kuni u avval barcha darslarni o'tkazib yubordi. Qaysi kuni u darslarning to'rtdan birini o'tkazib yubordi, agar o'sha kuni ularning soni bir xil bo'lsa.
8. Leshning shafqatsizligi darsdan ko'plab gugurtlarni o'g'irladi. Yo'lda, boshqa yigitlar uni ko'rishdi va har biri undan bir nechta olib ketishdi. Vova uchdan birini, Vasya - qolgan uchdan birini, Grisha - qolgan uchdan birini, Tolya - qolgan uchdan birini oldi. Natijada Lesha 16 ta gugurtni yoqib yubordi va shundan so'ng hech qanday gugurt qolmadi. Uning nechta qismi bor edi?
9. Uch bola 120 ta konfet o'rashdi. Birinchidan, Petya Van va Tolyaga qancha bo'lsa, shuncha shakarlamalar o'radi. Keyin Vanya Tolya va Petyaga qancha o'ralgan bo'lsa, shuncha berdilar. Va nihoyat, Tolya Peta va Vanyaga shu daqiqada qancha bo'lsa, shuncha berdi. Natijada hamma teng bo'lib olishdi. Har birining boshida nechta konfet o'ralgan edi?
10. Kola Vanyadan so'radi: "Yoshingiz nechada?" Ivan javob berdi: "Agar mening yoshim 2 ga ko'paytirilsa va 6 ga tashlansa, biz 14 yoshga to'lamiz!" Ivan necha yoshda?
Qaror. So'nggi harakat bilan, Ivan ba'zi raqamlardan 6 raqamini (ikki karra yoshi) olib tashladi va 14 ni oldi, demak u 14 + 6 = 20 raqamidan chiqarib tashlangan. Darhaqiqat: 20 - 6 = 14. Ajratishdan oldin Ivan o'zining yoshini 2 ga ko'paytirdi va 20 ga etdi. Shunday qilib, Ivanning yoshini topish uchun 20 ni 2 = 10 ga bo'lish kerak, shuning uchun Ivan 10 yoshda.
Javob: Ivan 10 yoshda.
1-topshiriq
Do'kon materiyani sotadi. Hammasi bo'lib, kuniga chintz xaridorlari soni 5 kishini tashkil etdi. Har bir keyingi chintz xaridor o'zidan oldingi narsaning yarmini oladi. Kunning boshida, agar yarim metr bo'lsa, qancha kalika bor edi?
Yechish: Biz muammoni oxiridan hal qilamiz: agar yarim metr qolsa, oxirgi xaridor ham yarim metrni sotib oldi, undan oldin esa bir metr qoldi. Keyin to'rtinchi xaridor metrni sotib oldi, undan oldin u ikki metr, uchinchisi - ikkitasi, to'rtdan oldin, ikkinchisi - to'rt, u sakkizgacha edi. Birinchisi sakkizni sotib oldi, bundan oldin u o'n olti edi. Shunday qilib, kunning boshida 16 metr chintz bor edi.
Javob 16 metr.
Jadval yordamida echimni topish qulay: