Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ushbu paragrafda

1.1.4-ta’rif. (1.1.1) differensial tenglamaning yechimi (integrali) deb, tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi.
Masalan, tenglamaning yechimi (bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas) funksiya bo’ladi. Haqiqatdan ham, ning bu qiymatini tenglamaga
qo’ysak, ayniyatga ega bo’lamiz:
.
Demak, (1.1.1) differensial tenglamani bitta funksiya emas, balki funksiyalarning butun bir to’plami qanoatlantirishi mumkin. Bu funksiyalardan birini boshlang’ich shart deb ataluvchi ( bo’lganda bo’ladi) shart orqali ajratish mumkin.
Differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.
Bunda, boshlang’ich shartning berilishi izlanayotgan xususiy yechimga mos integral egri chiziq o’tadigan nuqtaning berilishini bildiradi. Shunday qilib, Koshi masalasini yechish, bu integral egri chiziqlar oilasidan berilgan nuqtadan o’tadiganini tanlab olish demakdir. Bu jumla Koshi masalasining geometrik ma’nosini ifodalaydi.
Koshi masalasining yechimi mavjudmi, agar mavjud bo’lsa u yagonami? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
1.1.1-Teorema (Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema). Agar nuqtani o’z ichiga olgan sohada funksiya va
xususiy hosila uzluksiz bo’lsa, u holda differensial tenglamaning
shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo’ladi.
Bu teorema Koshi masalasi yechimga ega bo’lishining yetarli shartlarini ifodalaydi va geometrik jihatdan teoremaning shartlari bajariladigan har bir nuqta orqali yagona integral egri chiziq o’tishini bildiradi.
Teoremaning shartlari buziladigan nuqtalar maxsus nuqtalar deyiladi. Maxsus nuqtalar orqali yoki birorta ham integral egri chiziq o’tmaydi yoki bir nechta integral egri chiziq o’tadi. Masalan, tenglamaning umumiy yechimi koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasini ifodalaydi (1-shakl). da, yani o’qda yotuvchi nuqtalarda teoremaning sharti buzuladi. Tekislikning ko’rsatilgan nuqtalardan tashqari istalgan nuqtasi orqali oilaning bitta to’g’ri chizig’i o’tadi. Teorema sharti buzulgan o’qning nuqtasi orqali cheksiz ko’p integral egri chiziq o’tadi, qolgan nuqtalari orqali bitta ham integral egri chiziq o’tmaydi.