Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ushbu paragrafda

O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
Ushbu
(1.1.3)
ko’rinishdagi tenglama o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi.
Uning o’ziga xos tomoni shundaki, tenglamada oldida faqat ga bog’liq ko’paytuvchi, oldida faqat ga bog’liq ko’paytuvchi turadi.
Tenglamaning umumiy yechimi uni hadma-had integrallash orqali topiladi:

1-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Y e c h i s h. Tenglamani hadma-had integrallaymiz:
soddalashtirib
yoki umumiy integral (yechim)ni topamiz, bunda .
Ushbu
, (1.1.4)
(1.1.5)
tenglamalarga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.
(1.1.4) tenglamani ifodaga bo’lib, uni o’zgaruvchilari ajraladigan
tenglamaga keltiramiz:
.
Bu tenglamani integrallab, (1.1.4) tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
(1.1.5) tenglamada o’rniga qo’yish orqali
yoki
tenglamani hosil qilamiz.
Bundan
.
2-misol. tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
Y e c h i s h. Tenglamada o’rniga qo’yamiz: . Tenglamaning chap va o’ng tomonini ga ko’paytiramiz:

Oxirgi tenglikni ga bo’lib, o’zgaruvchilarni ajratamiz:
.
Uni integrallab, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
.
Berilgan boshlang’ich shart dan foydalanib, o’zgarmasning qiymatini aniqlaymiz:
.
Demak,

funksiya tenglamaning izlanayotgan xususiy yechimi bo’ladi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
1.1.8-ta’rif. No’malum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha yoziladi:
(1.1.6)
bunda va lar biror oraliqda uzlusiz funksiyalar. bo’lganligi uchun (1.1.6) tenglamani
(1.1.7)
ko’rinishga keltirish mumkin, bunda, lar berilgan uzluksiz funksiyalar.
Agar bo’lsa (1.1.7) tenglama chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Lagranj usulini keltiramiz.