Биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар 1-§. Асосий тушунчалар

БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР

1-§. АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАР

Номаълум функциянинг ҳосиласи ёки дифференциали қатнашган тенглама дифференциал тенглама дейилади.
Агар изланаётган функция битта эркли ўзгарувчининг функцияси бўлса, у ҳолда дифференциал тенглама оддий дифференциал тенглама, бир неча эркли ўзгарувчиларнинг функцияси бўлганда эса хусусий ҳосилали дифференциал тенглама дейилади.
Дифференциал тенгламада қатнашган ҳосилаларнинг энг юқори тартиби тенгламанинг тартиби дейилади.
Ушбу
ёки (1.1)
кўринишдаги тенглама биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама бўлади, бу ерда x эркли ўзгарувчи; номаълум функция; - ва ўзгарувчиларнинг берилган функцияси.
(1.1) тенглама ҳосилага нисбатан ечилмаган тенглама дейилади. Уни ҳосилага нисбатан ечиш мумкин бўлса, у ҳолда тенглама ҳосилага нисбатан ечилган
(1.2)
дифференциал тенглама дейилади. Бу ерда - икки ўзгарувчили берилган функция.
Кўпинча биринчи тартибли дифференциал тенглама (1.3)
кўринишда ҳам ёзилади, бу ерда ва - ва ўзгарувчиларнинг берилган функциялари.
Бирор оралиқда аниқланган ҳамда узлуксиз дифференциалланувчи функция оралиқда (1.1) тенгламани айниятга айлантирса дифференциал тенгламанинг ечими дейилади, , яҳни
.
(1.1) ёки (1.2) тенгламанинг (1.4)
шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади. Бундай ечим баoзан нуқтадан ўтувчи ечим деб аталади.
Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими деб битта ихтиёрий C ўзгармас миқдорга боьлиқ бўлган ва (1.1) (ёки (1.2)) дифференциал тенгламани С ўзгармас миқдорнинг ҳар қандай аниқ қийматида ҳам қаноатлантирадиган функцияга айтилади.
Умумий ечимни ошкормас ҳолда ифодаловчи кўринишдаги тенглик дифференциал тенгламанинг умумий интеграли дейилади.
Ўзгармас С га С₀ қийматни бериш натижасида умумий ечимдан хосил бўладиган ҳар қандай функция дифференциал тенгламанинг хусусий ечими дейилади.
Мисол 1.1. функция тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. ва ифодаларни тенгламага қўйиб, айниятни хосил қиламиз. Демак, берилган функция кўрсатилган тенгламанинг ечими бўлади.
Мисол 1.2. муносабат билан аниқланган функция дифференциал тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. белгилаш киритиб, ошкормас функцияни дифференциаллаш формуласи [4] ёрдамида топилган ифодани тенгламага қўйиб айниятга келамиз. Демак, берилган ошкормас функция тенгламанинг ечими бўлади.
Мустақил ечиш учун топшириқлар.
Берилган функциялар берилган дифференциал тенгламанинг ечими бўлишини текширинг.