Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

Mathematics, 7(1), 7-13.
Steiner, H.-G. (Ed.). (1990). Mathematikdidaktik-Bildungsgeschichte-Wissenschafts-
geschichte II. IDM-Reihe Untersuchungen zum Mathematikunterricht 15. Köln: Aulis.
Steiner, H.-G., & Winter, H. (Eds.). (1985). Mathematikdidaktik-Bildungsgeschichte-
Wissenschaftsgeschichte. IDM-Reihe Untersuchungen zum Mathematikunterricht 12.
Köln: Aulis.
Thom, R. (1973). Modern mathematics: Does it exist? In A. G. Howson (Ed.),
Developments in mathematical education (pp. 194-209). Cambridge: Cambridge
University Press.
Vergnaud, G. (1990). Epistemology and psychology of mathematics education. In P.
Nesher & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics and cognition: A research synthesis by the
International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 14-30).
Cambridge: Cambridge University Press.
333

---

THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS AND THE
DIDACTICS OF MATHEMATICS
Paul Ernest
Exeter
1. DEVELOPMENTS IN THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS
The 20th century has seen the flowering of the philosophy of mathematics
as a field of professional research. There have been a number of develop-
ments of the utmost importance for the didactics of mathematics. The first
has been a shift from a concern to give a prescriptive (or normative) account
to a descriptive (or naturalistic) account of mathematics (Ernest, 1991,
1992). Two traditional assumptions concerning the nature of mathematics
are that (a) mathematical knowledge is absolutely secure objective knowl-
edge, the cornerstone of all human knowledge and rationality (the assump-
tion of absolutism), and (b) that mathematical objects such as numbers, sets
and geometric objects all exist in some objective superhuman realm (the as-
sumption of Platonism). The prescriptive tradition has sought to reformulate
mathematical knowledge in order to validate these assumptions. Recently,
there has been a shift in academic philosophy of mathematics from attempts
to erect absolutist epistemological systems (the projects of Logicism and
Formalism) to ontological concerns, but the two assumptions of prescriptive
philosophy of mathematics still dominate the field. This traditional approach
is represented by Benecerraf and Putnam (1983).
In contrast, a descriptive or naturalistic turn in the philosophy of mathe-
matics has been emerging more recently. This is still an ill-defined move-
ment, which Aspray and Kitcher (1988) term a "maverick" tradition. What
binds this movement together is a shared rejection of the epistemological
and ontological assumptions of prescriptive philosophy of mathematics, and
a positive concern to broaden the scope of the philosophy of mathematics to
that of giving an account of mathematics acknowledging the centrality of
mathematical practice and social processes. Thus the concern is to describe
the naturally occurring epistemological and more generally philosophical
practices of the discipline, rather than to legislate normatively.
Much of the rejection of the prescriptive task of the philosophy of math-
ematics comes from a view, which is spreading amongst the communities of
mathematicians, educationists and, to a lesser extent, philosophers, that the
foundations of mathematics are not as secure as was supposed. Gödel's
R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer, B. Winkelmann (Eds.),
Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, 335-349.
© 1994 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

---

PHILOSOPHY OF MATHEMATICS
(1931) first incompleteness theorem has shown that formal axiomatics and
proofs must fail to capture all the truths of most interesting mathematical
systems (those at least as strong as the theory of Peano arithmetic). His sec-
ond incompleteness theorem shows that, in such systems, consistency is in-
demonstrable without adopting more assumptions than in the system itself.
Together, these results severely weakened Hilbert's Formalism and Frege,
Russell and Whitehead's Logicism. This has forced a concession from even
the most computationally minded that human creativity cannot be replaced
by mechanized deduction (Wang, 1974). More generally, it is increasingly
accepted that any body of knowledge rests on assumptions that cannot
themselves be given a secure foundation, on pain of infinite regress
(Lakatos, 1976; Popper, 1979). There is also a growing dissatisfaction
amongst mathematicians, philosophers and other scholars with the tradi-
tional narrow focus of the philosophy of mathematics, limited to founda-
tional epistemology and ontology (Tiles, 1991; Tymoczko, 1986).
A number of authors have proposed that the task of the philosophy of
mathematics is to account for mathematics more fully, including the "human
face" of mathematics. Publications by Davis and Hersh (1980), Ernest
(1991), Kitcher (1984), Lakatos (1976, 1978), Putnam (1975), Tymoczko
(1976), Wang (1974) and Wittgenstein (1953, 1956), for example, have
suggested new fallibilist, quasi-empirical or social constructivist views of
mathematics. This descriptive or naturalistic turn in the philosophy of math-
ematics is represented by Tymoczko (1986).
The shift from prescriptive to descriptive accounts parallels a second shift
from objectivist accounts of mathematics and mathematical knowledge to
social accounts (possibly with subjective accounts seen as intermediary po-
sition). Although this seems to be an immediate corollary of the descriptive
turn, there is still tremendous resistance from many philosophers and math-
ematicians to the notion that social processes and practices might be consti-
tutively central to mathematics. Putnam (1975) and Machover (1983), for
example, acknowledge that absolute foundations for mathematical knowl-
edge are lacking, but are far from agreeing that mathematics is at base so-
cial. Karl Popper has been very influential in promoting the view that all
scientific knowledge is fallible (his philosophy of science is termed "critical
fallibilism"). But he resists any notion that scientific knowledge is constitu-
tively social (Popper, 1979). Even his protégé Imre Lakatos, who perhaps
made the most decisive contributions to the maverick tradition in philoso-
phy of mathematics, in his later years argued for the primacy of logic and
objectivity over the social, at least in his accounts of scientific knowledge
(Lakatos, 1978).
The various different descriptive social philosophies of mathematics
making up the "maverick" tradition share a number of assumptions and
implications. They view mathematics as the outcome of social processes
and understand mathematics to be fallible and eternally open to revision,
336

---

both in terms of its proofs and its concepts. They reject the notion that there
is a unique, rigid and permanently enduring hierarchical structure and ac-
cept instead the view that mathematics is made up of many overlapping
structures. These, like a forest, dissolve and re-form. Since mathematical
knowledge is always open to revision, the processes of creating mathemat-
ics gain in philosophical significance, for there is no ultimate product to fo-
cus on exclusively. Consequently, both the history and practice of mathe-
maticians acquire a major epistemological significance (as well as needing
to be accounted for naturalistically for descriptive purposes). This signifi-
cance makes mathematics quasi-empirical, and not wholly disjoint from
empirical science, as traditional philosophies of mathematics assert
(Lakatos, 1978; Quine, 1960). The boundaries between the different areas of
knowledge and human activity are not absolute, which means that mathe-
matics is context-bound and value-laden, and not pure, remote and un-
touched by social issues such as gender, race and culture.
These concerns herald a third shift: a broadening of the concerns of the
philosophy of mathematics (Körner, 1960; Tymoczko, 1986). A set of ade-
quacy criteria for the accommodation of the shift towards a naturalistic and
social orientation is as follows:
A proposed philosophy of mathematics should . . . account for:
(i) Mathematical knowledge: its nature, justification and genesis.
(ii) The objects of mathematics: their nature and origins.
(iii) The applications of mathematics: its effectiveness in science, technology, and
other realms.
(iv) Mathematical practice: the activities of mathematicians, both in the present
and the past. (Ernest, 1991, p. 27)
To this should be added the need for an outline account of the learning of
mathematics, because the transmission of mathematical knowledge from
generation to generation is central to the social practice of mathematics;
also, the learning of mathematics cannot be separated from the parallel
practices of mathematicians in creating and communicating new
mathematical knowledge (Ernest, in press). As well as being central to the