Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, 41-53.
© 1994 Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

---

behavioristic teaching theories. The subject matter was to be broken down
into operationalistic goals. These goals were then to be organized into so-
called taxonomies.
In elementary school teaching, the "structural conception" was of great
importance in developing curricula in addition to new math. Based on
cognitive psychology (e.g., the works of Piaget), the structural conception
stresses the analogy between scientific structures and learning structures (cf.
Keitel, 1986). It asserts that basic mathematical structures are best fitted to
further mathematical learning. "Spiral curriculum" and "explorative learning
with structured material" were basic methodical principles.
The structures of the German educational system, which allows basic
changes only within an administrative framework, have hindered any inde-
pendent curriculum development on a rather major scale. There were no
equivalents to the extensive British or American curriculum projects such as
SMSG, SMP, and SSMCIS (cf. Howson, Keitel, & Kilpatrick 1981).
Curriculum development in Germany meant, and still means, that the gen-
eral curricular plan of the KMK (Conference of the Federal Secretaries of
Education) is concretized and adapted to the special conditions of the fed-
eral states ("Bundesländer"). This (scarcely inquired) process is influenced
by existing teaching practice and an extensive published didactic discussion
treating the analysis of subject-matter problems ("Stoffdidaktik"). Stoffdi-
daktik mainly deals with the subject matter under the aspects of mathemati-
cal analysis and of transforming mathematical theories into school mathe-
matics. Elementarizing, simplifying, and visualizing are central issues in this
process. The question of choice concerning subject matter is often traced
back to the question of what is characteristic and/or fundamental in mathe-
matics. When discussing curricula and the underlying goals, it seems appro-
priate to view the question on elementarizing and fundamental ideas as one
focal point (cf. section 3). Another field of growing interest in curriculum
development concerns the application of mathematics (cf. section 4). Due to
limitations of space, I shall focus on high school curricula especially those
of senior high school (and the specific sociocultural background); I shall not
discuss textbooks and syllabi (cf. Tietze, 1992, and the references there).
1.1 Curriculum Development: Innovative Forces; Goals, Content,
Methods, and their Justification
This short survey shows that societal and political forces prompt and direct
innovation. There is also pressure that is exerted by the scientific mathemat-
ical community (mostly unconsciously and in a sociologically complex
way). Howson, Keitel, and Kilpatrick (1981, p. 4) stress that there are also
forces rooted in the educational system as a result of research, new educa-
tional theories, or the pioneering work of individuals (e.g., Piaget, Bloom).
The existence of new technologies that can be applied to education must
likewise be subsumed under these innovating factors. The expected rewards
42
CURRICULA AND GOALS

---

UWE-PETER TIETZE
of innovation may also be a powerful impetus. Innovation is exciting, at-
tracts the attention of others to one's work, foments approval, and, not sel-
dom, contributes to the professional advancement of the educator.
Curriculum means more than a syllabus or textbook – it must encompass
aims, content, methods, and assessment procedures. In developing curricula,
one must justify aims, content, and methods with rational and intersubjec-
tive argument. In the German pedagogical discourse, one can primarily dis-
tinguish two methods: (a) deriving aims from highly general normative
statements, which serve as axioms, by using the rules of a deontic logic or –
and this method is predominant and more convincing – (b) by goals-means
arguments (cf. König, 1975). The goals-means arguments consist of systems
of prescriptive and descriptive statements. Such goals-means arguments
allow us to transfer the justification of a certain objective to objectives of
greater generality – step by step. The question remains of how to justify the
highest aims in such a hierarchy. This question was not a problematic one in
mathematics education, as there is strong consensus on several general
objectives (see below).
The validation of a goals-means argument requires: (a) a clarification of
semantics and syntax, and (b) an empirical validation of the descriptive part.
From a pragmatic point of view, the clarification of the involved concepts is
of great importance, but is often neglected. Statements such as "students
shall learn to perform mathematical proofs" or "the student shall acquire
qualifications in applying mathematics" can mean a great variety of objec-
tives. The argument often used to justify mathematics in school, "mathemat-
ics trains logical thinking," is not only nebulous in its semantics but also
based on a transfer hypothesis that does not withstand closer examination.
The idea that starting off with very general concepts (e.g., a general concept
of variable) will facilitate the learning process reveals an implicit learning
theory that lacks scientific sanction. This implicit learning theory influenced
curriculum development especially in algebra and has increased learning
difficulties in this subject, which is quite difficult as is.
1.2 Principles in Mathematics Education
Normal curriculum development, the writing of schoolbooks and syllabi, is
not guided by sophisticated goals-means arguments – if explicit arguments
exist at all – but is rather based on so-called "didactic principles." Such prin-
ciples, which are prescriptive statements based on descriptive assumptions
(factual knowledge from psychology, pedagogics, mathematics, experience,
etc.) and normative postulates (educational goals and objectives, societal
goals, etc.) – for the most part implicit – say what should be done in mathe-
matics teaching (Winter, 1984).
The importance and acceptance of such principles changes over the
course of time. The central (underlying) principle in traditional mathematics
education, for example, was that of isolating difficulties. The subject matter
43

---

was divided into poorly integrated sections, each of which was character-
ized by a special type of exercise. Integrative ideas and strategies were ne-
glected. Mathematics appeared to the students as a collection of isolated
types of exercise. This, in its essence, originally correct idea has turned into
something false by exaggeration and oversimplification – a critical tendency
inherent in most didactic principles.
Although several authors feel that principles in mathematics education
are of fundamental significance (e.g., Wittmann, 1975), there are empirical
and other considerations that advise us to be careful in dealing with them.
Several didactic principles, for example, recommend the intensive use and
variation of visual representations. Empirical studies show, however, that
iconic language can cause considerable additional difficulties in compre-
hension (Lorenz & Radatz, 1980). Further principles that are problematic in
a related respectively similar way are the operative principle and the prin-
ciple of variation that demands the use of a variety of models for learning
mathematical concepts. The main problem with didactic principles is the
lack of a sound analysis of their descriptive and prescriptive components,
which are often compounded.
2. NEW MATH AND COUNTERTENDENCIES
The reform of the mid-1960s – often called the new math – adopted many
characteristics of modern pure mathematics. The textbooks on calculus or
linear algebra resembled, to a certain extent, university lectures in content,
sequence, and diction. Subjective aspects such as the students' experiences,
knowledge specific to their age group, and inner representation of concepts
were scarcely taken into account. One consequence of the similarity of this
approach to the systematic structure of formal scientific mathematics was
that important subject matter had to be elementarized. This fact stimulated
several interesting analyses and works in mathematical fields adjacent to
school mathematics, such as the construction and characterisation of real
numbers and the development of the function concept (cf. Steiner, 1966,
1969). At that time, a formalistic-logistic mathematical science had estab-
lished itself at the universities, a mathematics that was not interested in a
theory concerned with the meaning of mathematical concepts and that al-
most completely ignored any reflection on mathematics and its application.
In the beginning, this narrow scientific program was adopted by mathemat-
ics educators. It soon provoked opposition. The main reason for this oppo-
sition was the fact that highly abstract and formalized mathematical con-
cepts proved impracticable in school. In high school, this effect became
more and more pronounced the more the German Gymnasium lost its status
as an elite school and became an educational institution for a significant part
of the population. The higher vocational and technical schools, which had
teachers who differed in their academic backgrounds, were not as strongly
affected at that time by the wave of mathematical rigor as the general high
44
CURRICULA AND GOALS

---

UWE-PETER TIETZE
schools were. The critique of new math resulted in fruitful research and
discussion from two perspectives that do not exclude each other, but repre-
sent different focal points.
1. The first position focuses on the idea that mathematics education
should further an undistorted and balanced conception of mathematics, in-
cluding the aspects of theory, application, and mathematical modeling. It
should also emphasize the learning of meaningful concepts (in the semantic
sense) and the teaching of the fundamental ideas of mathematics, (a) Inter-
esting papers have been published dealing with the question of how mathe-
matical theories and concepts can be simplified and elementarized without
falsifying the central mathematical content. Others focus on fundamental
ideas, either for mathematics in general or for a specific field, (b) Some
mathematics educators made it their objective to analyze epistemologically
the process of mathematical concept and theory formation. They then tried
to derive didactic consequences from this.
2. The other position considers the students and the benefits that mathe-
matics can render to them. In the mid-1970s, (high school) mathematics ed-
ucators were asking how curricula could be justified – mainly as a conse-
quence of the lack of justification in the new math. Some authors referred to
Wagenschein and Wittenberg, well-known educators in mathematics and
natural sciences. They pleaded for the Socratic teaching method to encour-
age students to discover mathematical ideas and theories by themselves.
This also means teaching by examples without being pressured by a volu-
minous canon of subject matter. Winter greatly influenced this discussion
with his catalog of general objectives. This catalog is based on the question
of "basic mathematical activities, which are rooted in normal everyday
thinking and therefore can influence general cognitive abilities." (1975, p.
107, translated). Winter stresses: (a) the ability to argue objectively and to
the point; (b) the ability to cognitively structure situations of everyday ex-
perience, to detect relationships, and describe them in mathematical terms,
or to develop mathematical tools and concepts with this in mind; and (c)
creativity; that is, to acquire and use heuristic strategies to cope with un-
known problems, especially strategies for developing and examining hy-
potheses. This research and the implied curricular suggestions cited above
can be regarded as a late but substantial attempt to explicate the central ped-
agogical objective of school reform, that is, science propaedeutics in a way
specific to the subject.
Theories and results obtained from the psychology of learning were grad-
ually introduced into mathematics education in high school. In elementary
mathematics education, such questions and issues have had a long tradition.
Didactic principles derived from the psychology of motivation and learning
became important in developing curricula. Along with recognizing that di-
dactic principles often proved to be problematic in their descriptive parts
45

---

46
(cf. section 1), attempts were undertaken to inquire into the processes of
learning mathematics in general and those specific to certain topics.
3. ELEMENTARIZATION, FUNDAMENTAL IDEAS
3.1. Formation of Concepts and Theories
Taking Calculus as an Example
The question of how to facilitate the learning of mathematical theories by