Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

in all Gymnasiums; but in Quinta and Sexta (the two lower grades), arith-
metical skills will be exercised practically without any intrusion of mathemat-
ics" (Neigebauer, 1835, p. 173, translated). With this, training in arithmetic
skills and everyday applications had acquired a definite position in
Gymnasium instruction. The significance of this decree is notable by the fact
that the ministry intervened in substantial questions of mathematics in-
struction on only one additional occasion until 1850.
How strongly some mathematicians and educators nevertheless felt the ev-
eryday practical applications to be problematic became apparent once more in
1826 when A. L. Crelle proposed, in a comprehensive expertise on mathe-
matics instruction, to abolish arithmetical instruction in the lower two classes,
and to use the time saved for nonmathematical subjects. He justified his pro-
posal by arguing that "everyday applications" were in contradiction to the sci-
entific character of Gymnasium instruction, while scientific mathematics was
too difficult for that age group. Mental arithmetic, in contrast, was acquired
autonomously and did not need to be taught. This suggestion, however, did
nothing to modify the compromise already attained on this issue.
The destiny of the theoretical applications was quite different. On the
whole, they fell victim to an inner dynamics in the development of mathemat-
ics instruction, which is rather typical. To understand this, let us imagine the
entire school mathematics according to the following schema:
Originally, school mathematics consisted essentially of (constructive)
Euclidean geometry, algebraic analysis, and the applications of algebra to the
calculatory parts of geometry and mechanics. The schema makes immediately
visible where cuts in the mathematical subject matter were possible. They
could be effected in all applied parts without endangering the systematics of
the subject. Due to the imprecise boundary to physics instruction, the me-
chanical applications had hardly a chance of being realized from the outset
and hence occur but sporadically in a small number of textbooks. When there
was the general complaint in the 1830s that the demand on the Gymnasium
students was too great, cuts had to be made in mathematics instruction as
well. It was almost self-evident that these cuts left the systematical part un-
CULTURA
L INFLUENCES: A HISTORICAL CASE
424

---

scathed, hitting the applications. In 1834, the ministry forbade the
Joachimthalsche Gymnasium to treat the conic sections analytically and con-
sequently analytical geometry as such. This decree was circulated to every
Gymnasium and thus became compulsory. This was the ministry's second
intervention into the subject matter of mathematics instruction. The applica-
tions of algebraic analysis were thus reduced to calculating individual geo-
metric quantities in stereometry, and plane and spherical trigonometry.
To obtain an overall picture of school mathematics, I shall look at a typical
school textbook of the time, the Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik
(Müller, 1838) by Johann Traugott Müller (1797-1862). It has an eminent
position in the textbook literature of the 19th century. Müller was the first di-
rector of the school designated as Realgymnasium in Germany (that in Gotha)
and has been termed one of the forerunners of Klein's reforms by F. Pahl
(1913, p. 275). In contrast to this assessment, Müller's textbook adhered
fully to the framework sketched above. His subject matter comprised exactly
the contents of algebraic analysis, and the emphasis with regard to the didac-
tic conception is on the systematical development of theory. Müller saw its
intrinsic connection realized by the principle of number domain extension,
and consequently it was "the definite emphasis on and repetition of the same