Book · January 994 citations 110 reads 2,264 authors

knowledge" appeared unattainable and was no longer a value that could serve
to comprehensively justify education. The idea that the educational effect of
mathematics lay mainly in its systematicity lost more and more of its attrac-
tion.
Third, the social context was changing. The increasing importance of tech-
nology and of technological applications undermined the exclusive position of
pure mathematics during the first half of the 19th century. It could no longer
claim to be the only authentic mathematics serving to convey mathematical
education.
Nevertheless, algebraic analysis held its position as a leading concept of
school mathematics until the beginning of our century, as has been hinted at
above (Jahnke, 1990b, pp. 464-472). Consequently, the first efforts at re-
forming mathematics instruction were also directed at reintegrating analytical
geometry into the syllabus of the Gymnasium (see the famous speech given
by DuBois-Reymond in 1877), thus making the original conception of alge-
braic analysis complete again. Only after F. Klein, who occasionally spoke of
the "misery of algebraic analysis" (Klein, 1907, p. 105, translated), de-
CULTURAL INFLUENCES: A HISTORICAL CASE
426

---

6. THE ROLE OF CULTURE
To close, I shall inquire into the role of culture in this development. General
cultural evaluations led to the view that the purpose of education was not so
much to convey an established knowledge aligned to applications, but rather
orientations to enable humanity to behave intelligently and communicatively if
faced with unforeseeable demands (the concept of "indirect application").
Pure mathematics had the opportunity to determine the mathematical syllabus,
because theoretical and speculative reasoning was highly esteemed within the
cultural sphere. The same kinds of cultural process outside of school were to
rob the original conception of education of its meaning and to undermine the
didactic conception of mathematics instruction founded on this idea by a de-
creasing esteem for the idea of system as well. This was a slow and nonho-
mogeneous process that changed the mathematics teachers' pedagogical and
mathematical self-understanding and made them seek for new ideas. An inter-
esting question for which no historical evidence is available to me is how far
such processes of cultural change outside of school that were divesting sub-
ject matter of its meaning have had a negative influence on processes within
school.
For the present-day observer, certainly most strange is the extremely nega-
tive view of everyday applications taken by the reformers of the Humboldtian
era. Within the historical context, however, some reasons can be advanced
that make this comprehensible. First, it should be noted that similar efforts
were made at reforming mathematics instruction in the 1960s and 1970s
while subsuming various applied methods under the concept of proportional
function. An additional feature in the early 19th century was that reformers
were faced with the situation that only everyday applications were taught in
mathematics at the Gymnasium, and this mainly by auxiliary teachers who
came from outside and had to be paid for this practical drill by the students or
by their parents. This practical arithmetic consisted in the exercise of mere
cookbook recipes, a situation in which mathematical subject matter concerned
with arguing and proof had to fight for a first foothold. The insight that
common arithmetic can also be executed in an argumentative and reasoning
way only grew step by step over the course of the 19th century as a con-
sequence of didactic efforts.
We have seen how difficult it was to make an arguing and proving mathe-
matics prevail at the Gymnasium. The reformers' efforts in favor of such a
mathematics must thus be considered to be very important historically. This
HANS NIELS JAHNKE
427
manded that infinitesimal calculus be introduced into instruction toward the
end of the 19th century, was this leading concept effectively questioned. It is
a historical problem yet to be studied to reconstruct the history of Klein's
Reforms as a struggle between two different mathematical paradigms, that is,
between the conception of algebraic analysis and Klein's idea of functional
reasoning.

---

shows that it is historically inadequate to consider the movement to establish
the Realschule during the second half of the 19th century as a continuation of
the realist trends during the first half. It is necessary here to distinguish care-
fully between different currents, it being obviously not correct to assume that
a realistic orientation of education automatically implies a strong position of
mathematics within the syllabus. Besides, it is not self-evident under realistic
auspices that the mathematics taught is aligned to proof and theoretical rea-
soning.
The conflict about the everyday practical applications reveals, on a general
level, one of the most essential functions fulfilled by culture with regard to
education. Just as the everyday practical applications represented the contem-
porary interests of parents and students, the demand to teach theoretical math-
ematics anticipated the future. The struggle between the two positions was
multidimensional and fed by cultural values. It is culture that makes possible
the dialogue with the future, and this is its decisive contribution to education.
CULTURAL INFLUENCES: A HISTORICAL CASE
428
REFERENCES
Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation. A cultural perspective on mathematics
education. Dordrecht, Netherlands: Kluwer.
Cauchy, A. L. (1897). Cour d'analyse de l'école royale polytechnique.