Bosh va tanlanma to’plam

Tanlanma kengligi: Tanlanmaning son o’qida qanchalik uzoqlikda joylashganini ko’rsatuvchi kattalik

R=

2. 
   Tanlanma modasi: Tanlanmaning variatsion qator elementlari orasida eng ko’p uchraydigan ya’ni eng katta chastotaga ega bolgan elemant va uni bilan belgilanadi.
   
3. 
   Tanlanma medianasi: Tanlanmaning variatsion qatorining o’rtasida joylashgan elementga tanlanma medianasi deb ataladi va uni bilan belgilanadi.
   

4. 
   

Statistik baholar va ularning xossalar

Faraz qilaylik, taqsimot funksiyasi noma`lum parametr  ga bog`liq bo`lgan tanlanma X berilgan bo`lsin. Boshqacha qilib aytganda, kuzatilayotgan tanlanma X ning taqsimot funksiyasi f( x, ) bitta parametrli parametrik taqsimot funksiyalar oilasiga tegishli bo`lsin. Endi tajriba natijasida olingan ma`lumotlar yordamida noma`lum parametr  ni ―,,tiklash”, ya`ni ma`lum ma`noda unga yaqin bo`lgan va tajribalar asosida to`liq tiklanadigan biron-bir miqdorni tuzish masalasini ko`raylik. Θ orqali  ning qiymatlari to’plamini belgilaymiz.
Faraz qilaylik, ( X tanlanmaning xajmi n ga teng bo`lgan tanlanmasi bo`lsin.
~ kuzatilmalarning ixtiyoriy funksiyasi statistika deyiladi.
Ta`rifdan kelib chiqadiki, statistika faqat kuzatilmalarga bog`liq bo`lgan tasodifiy miqdor bo`lib, u tajriba natijasida to`liq aniqlanadi.
~ Agar bo’lsa, u holda statistika nomalum parametr uchun baho deb ataladi.
Ta`rifdan kelib chiqadiki, bitta parametr uchun bir necha statistik baho taklif qilinishi mumkin. Shuning uchun, statistik baholardan ma`lum ma`noda ,,yaxshi” xossalarga ega bo`lishlari talab etiladi. Odatda har qanday statistik baholarning quyidagi xossalarga ega bo`lishligi maqsadga muvofiqdir.
Siljimagan baho
Agarda statistik bahoning matematik kutilmasi noma`lum parametrga teng, ya`ni
M =MT( )= (1.2.1)
bo`lsa, statistik baho siljimagan baho deyiladi.
Agar statistik baho =T( ) uchun b=MT( )-
bo’lsa u siljigan baho deyiladi va b-siljish kattaligi boladi.
Nomalum parametr X tanlanmaning matematik kutilmasi va lar unga mos kuzatilmalar bo’lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz.
T( ) = (1.2.2)
Bu yerda tenglikni qanoatlantiruvchi
o’zgartiruvchi sonlar. MX = va demak M =…M = matematik
kutilmasini hisoblash qoidasidan
MT( ) = =( (1.2.3)
ega bo’lamiz. Bu tenglikdan (1.2.2) statistikaning noma’lum parametr uchun siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi.
Xususan , bo’la (1.2.2) dan
T( statistikaga, agarda bo’lsa
T( statistikaga ega bo’lamiz. (1.2.3) munosabat
tenglik bajariladigan ixtiyoriy lar uchun to’g’ri bo’lganligidan va statistikalar ham nomalum parametr uchun
Siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi. Demak, bitta parametr uchun bir nechta siljimagan baho tuzish mumkin ekan. Bu xulosadan, tabiiy, siljimagan baholarni taqqoslash zaruriyati kelib chiqadi. Optimal baho
Noma`lum parametr  uchun siljimagan baholar to`plamini U bilan belgilaylik. Oldingi boblardan ma`lumki, tanlanma dispersiyasi shu tanlanmaning qiymatlari uning matematik kutilmasi atrofida qanchalik zich yoki tarqoq joylashganligining mezoni bo`ladi. Shuning uchun, tabiiy, siljimagan baholarni ularning dispersiyasiga ko`ra taqqoslaymiz.
Faraz qilaylik, ( va ( lar nomalum parametr uchun siljimagan baholar bo’lsin, ( va (
Agar shu statistikalar uchun
D ( D (
munosabat bajarilsa, ( ( bahodan aniqroq
baho deyiladi.
Demak, bitta parametr uchun bir necha siljimagan baholar mavjud bo`lsa, uning statistik bahosi sifatida aniqroq bahoni qabul qilish maqsadga muvofiq bo`ladi. Yuqorida biz noma`lum matematik kutilma  uchun ikkita siljimagan va lardan iborat bo`lgan baholarni ko`rdik. Endi ularni taqqoslaylik. Dispersiyani hisoblash qoidasiga asosan:
D D (1.2.4)
Va D , yuqorida keltirilgan taqqoslash qoidasiga muvofiq, ko`rinib turibdiki baho bahoga nisbatan aniqroq bo`ladi.
~ Agar inf DT =D T T bo’lsa -statistik baho optimal baho deyiladi .
Ko’rsatish mumkinki nomalum matematik kutilma  uchun barcha siljimagan chiziqli baholar ichida eng aniq (optimal) bahodir.
Asosli baho
~ Agar n cheksizlikka intilganda T statistika ehtimol bo’yicha nomalum parametr ga yaqinlashsa, yani ixtiyoriy kichik son uchun
{
munosabat o’rinli bo’lsa, u holda T statistik baho asosli baho deyiladi.
Demak, asosli baho ( tajribalar soni borganida nomalum
parametrga ehtimol bo’yicha yaqinlashar ekan. Odatda har qanday
statistic bahodan asosli bo’lish talab etiladi. Matematik statistikada
asosli bo’lmagan baholar o’rganilmaydi.
1.2 Misol-1 Tanlanma o’rta qiymat nomalum matematik qurilma MX ga asosli baho ekanligini ko’rsating.
Chebishev tengsizligiga va (1.2.3) munosabatga ixtiyoriy kichik uchun
P{
Oxirgi tengsizlikda dispersiya chekli bo`lsa, n  da limitga o`tsak, haqiqatan ham statistikaning asosli baholigi kelib chiqadi. Umuman, ixtiyoriy siljimagan baho T( ning noma`lum  parametrga asosli baho bo`lishlik shartini keltiramiz.
Teorema. Agar ( statistika parametr uchun siljimagan baho bo’lib, n uning dispersiyasi D bo’lsa, u holda u sonli baho bo’ladi.
Isbot. ( ) statistika siljimagan baho bo’lgani uchun ( = . U holda ixtiyoriy uchun Chebishev tengsizligidan quyidagi tengsizlikni yoza olamiz:
P{ (1.2.5)
Ammo, shartga ko’ra ixtiyoriy tayinlangan uchun n da

Demak, (1.2.5) tengsizlikdan T( ) statistikaning asosli baho ekanligi kelib chiqadi.