Bu yo’lda bizning eng katta tayanch va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yosh avlodimizdir

4- teorema. Agar funksiyalarning har biri nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, funksiya mos nuqtada

differensiallanuvchi bo’lsa , u holda murakkab

Funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.
nuqtaning kardinatalariga mos ravishda orttirmalar beraylikki, bunda
,…, )
bo’lsin . U holda har bir funksiya
ham orttirmalarga va nihoyat funksiya orttirmaga ega bo’ladi.
Shartga ko’ra funksiyalarning har biri nuqtada differensiallanuvchi. Demak,
= + +…..+ +0( ,
= + +…..+ +0( ,
…………………………………… (6)
= + +…..+ +0(
bo’ladi, bunda

Xususiy hosilalarning ( ,…, ) nuqtadagi qiymatlari olingan va
.
Shartga ko’ra funksiya nuqtada differensiallanuvchi. Demak,
(7)
bo’ladi, bunda , ( I =1,2,…,m ) xususiy hosilalarning
nuqtadagi qiymatlari olingan va
da .
(6), (7) munosabatlardan topamiz:
+ +…..+ +0( ⦌+
+ +…..+ +0( ⦌+…+
+ +…..+ +0(
+ =( +
) +( + ) +…+
( + ) +
( + *0(p)+
Bu tenglikdan ( + *0(p)=0(p).
, ya’na da
va .
bo’lgani sababli

bo’lishi hamda quydagi
(8)
( belgilashlar natijasida
(9)
bo’ladi. Demak , murakkab funksiya nuqtada differensiallanuvchi.
Aytaylik, murakkab funksiya yuqoridagi teoremaning shartlarini qanoatlantirsin. U holda
+ +…+ +0(p)
bo’ladi. Bu hamda (8) (9) munosabatlardan foydalanib murakkab funksiyaning xususiy hosilalari quydagicha
+ ,
+ ,
………………………………………………
+ ,
bo’lishini topamiz.

1.