Eslatma. funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalari
ning mavjud bo’lishidan , uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi (bunga misol keying bandda keltiriladi).
Yuqorida keltirilgan teorema va eslatmasdan funksiyaning nuqtada
barcha xususiy hosilalarga ega bo’lishi funksiyaning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishining zaruriy sharti ekanligi kelib chiqadi.
Funksiya differensiallanuvchanligining yetarlilik sharti. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib ,
bo’lsin (
3-teorema. Agar funksiya da barcha xususiy hosilaga ega bo’lib , bu xususiy hosilalar nuqtada uzluksiz bo’lsa , funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.
Ushbu
nuqtani olib, berilgan funksiyaning nuqtadagi to’liq ortirmasini qaraymiz :
Bu orttirmaning quydagicha yozib olamiz :
(3)
,
Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz :
= ,
,
= , (4)
……………………………………………………...............
=
(0
Shartga ko’ra xususiy hosilalari nuqtada uzluksiz. U holda
,
, = ,
……………………………………………………….............. (5)
bo’ladi.Bunda
da
Yuqoridagi (3) ,(4) va (5) munosabatlardan
+
Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya nuqtada differensiallanuvchi.
Bu teorema funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo’lishining yetarlilik shartini ifodalaydi.
3-§.Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning hosilasi.
Aytaylik , ushbu
to’plamda,
funksiya esa
;
to’plamda berilgan bo’lib , ular yordamida
murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin .
Do'stlaringiz bilan baham: |
