Bu yo’lda bizning eng katta tayanch va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yosh avlodimizdir

5-§.Funksiya differensialining geometirik ma’nosi.
Aytaylik, bo’lsin . Bu holda , funksiya va uning differensiali

ga ega bo’lamiz.
Ma’lumki, funksiyaning differensiali shu funksiya tasvirlangan egri chiziqqa ( nuqtada o’tkazilgan urinma ordinatasining orttirmasini ifodalaydi (1- chizma).
bo’lsin. Bu holda ikki o’zgaruvchili funksiyaga ega bo’lib, uning ( ) nuqtadagi differensiali

bo’ladi, bunda

(1 - chizma)
va lar yetarlicha kichik bo’lganda

ya’na
taqribiy formula hosil bo’ladi.
1-misol. Ushbu
funksiyaning differensiali topilsin.
Ravshanki , .
U holda formulaga ko’ra

bo’ladi.
2-misol. Tomonlari va bo’lgan to’g’ri to’rtburchak berilgan. Agar bu to’g’ri to’rtburchakning x tomonini 5 sm ga oshirilsa y tomonini 10 sm ga kamaytirsa, to’rtburchakning dioganali qanchaga o’zgaradi ?
Agar berilgan to’g’ri to’rtburchakning dioganalini u desak, unda

bo’ladi. Endi

bo’lishini etiborga olib, topamiz;
=
Bu munosabatda
6m,
Deyilsa, u holda

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, to’g’ri to’rtburchakning dioganali taxminan 5 sm ga kamaygan ekan .
Endi funksiya differensialining geometirik ma’nosini keltiramiz.
Aytaylik,
Funksiya ochiq to’plamida differensiallanuvchi bo’lsin. Bu funksiya grafigi fazoda biror Г( sirtni ifodalasin. Г( = sirtda ( ( nuqtani va shu nuqtadan o’tuvchi, qaraloyotgan sirtga tegishli bo’lgan silliq
Г=
egri chiziqni olamiz. Modomiki, egri chiziq sirtda yotar ekan, u holda


bo’ladi. Ravshanki,

Murakkab funksiya bo’lib, uning nuqtadagi diifferensiali, differensial shaklining invaryandlik xossasiga binoan, ushbu
(6)
ko’rinishga ega.
Kodinatalari bo’lgan vector Г egri chiziqqa ( nuqtadan o’tkazilgan urinma vector bo’ladi.
Endi koordinatalari

Bo’lgan vektorni qaraylik. Yuqoridagi (6) munosabat vector urinma vektoriga ( nuqtada orthogonal bo’lishini bildiradi. Shuning uchun vector egri chiziqqa ( nuqtada orthogonal deyiladi.
Ma’lumki, Г egri chiziqqa ( nuqtadan o’tuvchi va Г sirtida yotuvchi ixtiyoriy egri chiziq edi. Binobarin, vektor shu ( nuqtadan o’tuvchi va Г sirtida yotuvchi ixtiyoriy egri chiziqqa orthogonal bo’ladi. Shuning uchun vektor Г sirtning ( nuqtadagi normal vektori deyiladi.
Sirtining ( nuqtasidan o’tuvchi va sirtning normal vektoriga ortoganal bo’lgan tekislik , Г sirtga ( nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik deyiladi. Uning tenglamasi

Bo’ladi, bunda ( urinma tekislikdagi o’zgaruvchi nuqta. Bu tenglikdan foydalanib,

Ifodani olamiz. Keltirilgan yenglik va (6) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib , funksiyaning ( nuqtadagi diffensiali bu funksiya girafigiga nuqtadagi urinma tekislik apilikatasining orttirmasini ifodalar ekan.