Bu yo’lda bizning eng katta tayanch va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yosh avlodimizdir

2-§.Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning differensiallanuvchanligi.
Zaruriy shart. Aytaylik , f(x)=f(x₁,x₂,...,xₘ) funksiya E⊂ to’plamda
berilgan bo’lib ,

bo’lsin.Ma’lumki berilgan funksiyaning nuqtadagi to’la ortirmasi

bo’lib, u .
2-ta’rif. Agar orttirmalarga bog’liq bo’lmagan shunday sonlar topilib , funksiyaning nuqtadagi to’la orttirmasi ushbu
+…+ (1)
ko’rinishida ifodalansa, deyiladi,bunda lar larga bog’liq va da cheksiz kichik miqdorlar.
Agar ( hamda nuqtalar orasidagi masofa

uchun da
=0(
bo’lishini etiborga olsak ,(1) munosabat ushbu
+…+ +0( (2)
ko’rinishga keladi.
Odatda, (1) va (2) munosabatlar funksiyaning nuqtada differensiallanuvchanlik sharti deyiladi.
1-misol. Ushbu
f(x₁,x₂,...,xₘ) = + +…+
funksiyaning ) nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi ko’rsatilsin.
Berilgan funksiyaning ) nuqtadagi to’liq orttirmasini topamiz:

Agar


deyilsa, u holda
+…+
bo’ladi.Demak , berilgan funksiya nuqtada differensiallanuvchi.
Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida differensialla-nuvchi bo’lsa , funksiya E to’plamda differensiallanuvchi deyiladi.
1-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa , uholda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
◀ SHartga ko’ra funksiya nuqtada differensiallanuvchi. Demak , funksiyaning shu nuqtadagi to’liq orttirmasi
+…+
bo’ladi. Bu tenglikdan

bo’lishini topamiz .Demak , funksiya nuqtada uzluksiz.
2-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa ,u holda funksiya shu nuqtada barcha xususiy hosilaga ega va
)= )= ,…., )=
bo’ladi.
Shartga ko’ra funksiya nuqtada differensiallanuvchi.
Binobarin , (1) shart bajariladi. U holda

deb olinsa, quydagi

tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikdan topamiz:

Demak, )= .
Xuddi shunga o’xshash funksiyaning nuqtada ),
),…, xususiy hosilalarning mavjudligi hamda
)= )= ,…., )=
bo’lishi ko’rsatiladi.
Bu teoremadan nuqtada differensiallanuvchi funksiyaning orttirmasi uchun
) ) )
bo’lishi kelib chiqadi.