Buni har bir yosh matematik bilishi kerak

47. Mansion teoremasi. Uchburchakka ichki va ichki-tashqi chizilgan 
aylanalarning markazlarini tutashtiruvchi kesmalar uchburchakka tashqi chizilgan 
aylana bilan kesishish nuqtasidan teng ikkiga bo‘linishini isbotlang. 
48. Eyler formulasi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning 
markazlari 𝑂
1
va 𝑂
2
, radiuslari esa mos ravishda 𝑟 va 𝑅 bo‘lsa,
𝑂
1
𝑂
2
= √𝑅
2
− 2𝑅𝑟 
49. To‘rtburchakning tomonlarini diametr qilib o‘tkazilgan aylanalar 
to‘rtburchakni to‘la qoplaydi. 
50. To‘rtburchakning qarama-qarshi ikkita burchagi o‘tmas. Bu burchaklar 
uchlarini tutashtiruvchi diagonal ikkinchi diagonaldan kichikligini isbotlang. 
51. Ikki aylana 𝑀 nuqtada ichki urinadi. Katta aylananing 𝐴𝐵 vatari kichik 
aylanaga 𝑇 nuqtada urinsin. U holda, 𝑀𝑇 nur 𝐴𝑀𝐵 burchakning bissektrisasi 
ekanligini isbotlang. 
52. Uchta juft-jufti bilan kesishuvchi aylanalarning umumiy vatarlari yoki 
ularning davomlari yo bir nuqtadan o‘tadi, yo parallel, yo bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. 
53. 𝐴𝐵 vatarning davomida 𝑀 nuqta olingan. Agar 𝑀𝐶
2
= 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐵 bo‘ladigan 
aylananing 𝐶 nuqtasi topilsa, 𝑀𝐶 – aylanaga o‘tkazilgan urinma. 
54. Parallelogramm tomonlariga tashqi tomonda yasalgan kvadratlarning 
markazlari kvadrat hosil qiladi. 
55. Agar uchburchakning bir burchagi 120° bo‘lsa, uning bissektrisalari asoslari 
hosil qilgan uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi. 

---

28 
56. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵 burchak 120° bo‘lib, 𝐴𝐸, 𝐵𝐷 va 𝐶𝑀 bissektrisalar 
𝑂 nuqtada kesishsa, ∠𝐷𝑀𝑂 = 30° bo‘ladi. 
57. To‘g‘ri chiziqda (aylanada) 𝐴 va 𝐵 nuqtalar olingan. Biri shu to‘g‘ri chiziqqa 
(aylanaga) 𝐴 nuqtada, ikkinchisi esa 𝐵 nuqtada urinuvchi aylanalar urinish 
nuqtalarining geometrik o‘rnini toping.