Byurgers tenglamasi(yopishqoq oqim)

Byurgers tenglamasi(yopishqoq oqim)
Biz turli xil cheklangan farq usullarini o`rganib chiqdik. Va ularni oddiy chiziqli muamolarni hal qilishda qo`lladik. Bu bizga ushbu usullarini yaxshiroq tushunishga va ularning asosiy raqamli xususiyatlari bilan tanishishga imkon berdi. Afsuski gidromexanikada odatda chiziqli bo`lmagan muamolarni hal qilish kerak, chunki bosim, zichlik, harorat va tezlik chiziqli bo`lmagan tenglamalar tizimini yechishdan iborat bo`lishi kerak.
Avval gidromexanika tenglamalariga o`xshash bitta oddiy chiziqli bo`lmagan tenglamalarni o`rganish foydalidir. Ushbu tenglama gidromexanika tenglamasiga kiritilgan atamalar bilan bir xil izik jarayonlarni tavsiflovchi atamalarni o`z ichiga olishi kerak, ya`ni konvektiv, difuziya yoki dissipativ va statsionar bo`lmagan atamalar. Bunday oddiy chiziqli bo`lmagan konvektiv atamalar qoladi. Bunday oddiy chiziqli bo`lmagan tenglama Byurgers tomonidan taklif qilingan(Byurgers 1948). U shaklga
(1)
Ushbu tenglaning chap tomonidagi birinchi va ikkinchi formulalar mos ravishda statsionar bo`lmagan va konvektiv azolari nomi bilan belgilanadi va o`ng tomondan yopishqoq oqim nolga teng bo`lmasa, u holda tenglama

+ {2}
Parabolik , agar u nolga teng bo`lmasa, unda tenglamada faqat statsionar bo`lmagan va chiziqli bo`lmagan konvektiv atamalar qoladi. Bunday tenglama giperbolik shaklga ega
(3)
Bu ideal gazning harakatini tavsiflovchi Eyler tenglamalari uchun model deb hisoblash mumkin. Tenglama (3) bu konvektsiyaning chiziqli bo`lmagan tenglamasi va ba`zi matematik xususiyatlarga ega, buni biz xozir ko`rsatamiz, shundan so`ng Byurgers yopishqoq bo`lmagan tenglamasini yechish uchun ishlatiladigan turli xil farq sxemalarini tasvirlaymiz. Bunday holda tipik natijalari beriladi, turli xil simli sxemalar bo`yicha hisob kitoblarda keltirilgan, amalga oshirilayotganda va chiziqli bo`lmagan formulalar o`rni aniqlangan .
(3) to`lqin tenglamasi sifatida ham talqin qilish mumkin, bunday to`lqinning turli nuqtalarida tarqalish tezligi esa har xil bo`ladi. Bundan farqli o`laroq ilgari o`rganilgan chiziqli bir o`lchovli tenglamada (chiziqli to`lqin tenglamasi). Har qanday bezovtalikni tarqalish tezligi doimiy edi. Buzulishlarning tarqalish tezligi o`zgarganligi sababli xususiyatlar qayta tiklanadi va gaz dinamikasidagi zarba to`lqinlariga analgik bo`lgan yechimlar paydo bo`ladi. Shuning uchun ko`rib chiqilayotgan bir o`lchovli model tenglamasi uzulish yechimlarining xususiyatlarini o`rganmishga imkon beradi.
Chiziqli bo`lmagan giperbolik qisman diferensial tenglamalar bo`yicha ikki turdagi yechimlarga ega. Keling buni oddiy skalyar tenglamasi misolida tushuntiraylik.
(4)
Umuman olganda nomalum va funksiya F(u)- vektorlaridir. Tenglamani quyidagicha yozamiz.
(5)
Bu yerda umumiy holda A=A(u) mantissa Yakubi oddi va oddiy misolda A= bizning qisaman diferensial tenglamamiz yoki tenglamalari tizimi giperbolik bo`lganligi sababli, A matritsaning barcha o`ziga xos qiymatlari haqiqiydir.

tenglamaning bunday yechimi silliq deyiladi. Agar funksiya maydonga ichida uzluksiz bo`lsa va uning xosilasi chegarada bir marta sakrashi mumkin bo`lasa (ya`ni tenglamaning Lipschitsda) uzluksiz bo`lsa kuchsiz (5) tenglamaning yechimi hamma joyda silliq deb ataladi, Funksiya uzulishga ega bo`lishi mumkin bo`lgan fazodagi(x;t) sirtdan tashqari hamma joyda silliqdir. Funksiyaning sakarashi qiymatiga va uzulish yuzasidan o`tishda ma`lum cheklovlar qoyiladi. w-o`zboshimchalik bilan uzluksiz birinchi vektor funksiyasi, ma`lum bir cheklangan maydondan tashqarida nolga teng bo`lsa, u holda (4) tenglamaning yechimi kuchsiz yechim deyiladi.
(6)
Bundan tashqari silliq yechim har doim bir vaqtning to`liq bo`lmagan bo`lib, har qanday doimiy kuchsizdir. kuchsiz yechim nazariyasi (Whitham, 1974) va (Jeffrey, Taniuti 1964) ning ajoyib kitoblarida batafsil bayon etilgan, giperbolik qisman diferensial tenglamalarning kuchsiz yechimlari nazariyasi nisbatan yangi yaratilgan matematika nazariyasidir. Kuchsiz yechimning misollaridan biri yopishqoq bo`lmagan suyuqliklarning tovushdan yuqori oqimlarida paydo bo`ladigan zarba to`lqinlaridir. Shunisi qiziqki zarba to`lqinlari bilan gaz dinamikasi tenglamalarning yechimlari giperbolik qisman diferensial tenglamalarning kuchsiz sistema yechimlari nazariya yaratilishidan 50-100 yil oldin ma`lum bo`lgan.

Keling Burgersning yopishqoq bo`lmagan tenglamasiga qaytamiz va ushbu tenglamaning kuchsiz yechimi mavjudligini topamiz, ya`ni rasimda ko`rsatilganidek, bo`shliq bilan yechimning mavjudligi uchun zarur bo`lmagan shartlardir.
)-ixtiyoriy uzluksiz funksiya bo`lsin, uzluksiz birinchi xosilaga ega bo`lsin bundan tashqari fazoda chegarada nolga aylansin D va tashqari D da (qo`shimcha ravishda D): D-egri chiziqdagi ixtiyoriy aylanadigan burchak fazosi (x,t) bu holatda aniq
(7)
va
(8)

Agar ikkala funksiya va F uzluksiz va uzluksiz bo`lib birinchi hosilaga ega bo`lsa, u holatda (7) va (8) tenglamalari tengdir. (6) tenglamasida berilgan oxirgi ikkita tenglamada ikkinchi integral mavjud emas, chunki chegaradagi funksiya nolga teng. Funksiya va (x,t) shartni qondiradigan (8) uchun har qanday funksiya , burgerlarning yopishqoq bo`lmagan tenglashuvining kuchsiz yechimi deb ataladi. Shuni esda tutingki, shartni qondirish uchun (8) tenglama funksiya diferensialanishuvchi bo`lishi shart emas.

(x,t) tekislikdagi D to`rtburchaklar fazosi egri chizig`i bilan bo`linadigan holatni ko`rib chiqamiz, unda funksiya uzulishga ega. Faraz qilaylik, funksiya ham uzluksiz ham yotgan holda birinchi hosilaga ega bo`lsin.
O`zboshimchalik bilan maydonning sxematik tasviri.
ning chap tomonida va ning o`ng tomonida qismlarga integralash formulalaridan foydalanib va doimiy chegarada funksiya nolga teng ekanligini hisobga olsak va tashqarida D, (8) tenglamadan biz quyidagi formulani olamiz:
(9)

Oxirgi integral egri chiziq bo`ylab hisoblanadi. va ajratish

egri chizig`i va pastki chegarasi bo`lganligi sababli qismlarga integrallashganda paydo bo`ladi kvadrat qavslari bilan ular ichiga kiritilgan qiymatlarining qiymatlari farqi har xil bo`ladi. maydon tomonlari (maydondan o`tishda ushbu qiymatning ,,sakrashi”) qon bosimi va va normal yo`nalsih orasidagi burchaklar egri chiziqga va o`qlari t va x navbati bilan ko`rib chiqilayotgan yozgi uy rasmda tasvirlangan. (7) tenglamaga ko`ra (9) tenglamaga ko`ra kiritilgan va birliklari bo`yicha integrallari nolga teng. Shuning uchun oxirgi integral tengdir. Har qanday w funksiya uchun ham nolga teng bo`ladi. Shuning uchun
[u]cos (10)
Oxirgi nisbat bu kuchsiz yechim va Byurgers tenglamalari qondirishi kerak bo`lgan shartdir. Dastlabki taqsimot va (x,0) rasmda ko`rsatilgan shaklga ega bo`lsin (7) bu yerda va bo`shliqning chap va o`ng tomonlari. Bir o`lchovli holatda sirt tenglamasi
shaklda ifodalanishi mumkin bo`lsa
t- =0 keyin (10) kiritilgan kosinuslar nisbatiga bo`linadi
cos , cos ,
Vagon poyezdi urushi, x ga ko`ra farqlash) shuning uchun

yoki

Nihoyat

(11)
Tovushning tarqalish tezligi uning chap va o`ng tomonidagi tez ochiqlikning tarqalish tezligi uning chap va o'ng tomonidagi tezliklarning yig`indisini yarmiga teng. ikkala tomonning tezligi doimiy ekanligini va uning o'zi doimiy tezlikda ( /2 harakat qilayotganini bilib, aniq yechim bilan uzulishlar bilan oqimlarni hisoblashning bir martalik shaxsiy raqamli usullari bo'yicha yechimlarni taqqoslash oson.
Kam uchraydigan to'lqinlar tovushdan yuqori oqimlarda zarba to'lqinlaridan kam emas. kam uchraydigan to'lqinni tavsiflovchi Burgers tenglamasining aniq yechimi ma'lum bo`lib, u kam uchraydigan to`lqinni tasvirlaydi. Dastlabki taqsimot va (x,0) rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'lsin.(9) Burgers tenglamasining xususiyatlari quyidagicha bilan tavsiflanadi

(X, t) tekislikdagi xarakteristikalar ko`rinishi (10)
Xarakteristikaning chap yarim tekislikda vertikal vertical tekisliklar mavjud va kesish to`lqinlarini cheklaydigan xarakteristikaning o`ng tomonida ular x o'qi bilan /4 rad burchagini tashkil qiladi..
May vazifasi siqilgan suyuqlik paytida markazlashgan vakum to'lqinini tarqatish vazifasiga o'xshaydi. Burgers tenglamasining vakuum to'lqini chap tomonda x= 0 bilan, o'ng tomonda esa chiziqli. rasmda ko'rsatilgan kelib chiqishi orqali o'tadigan harakteristika bilan
Matematik jihatdan kam uchraydigan uchraydiganto`lqinning tarqalish muamosining yechimini quyidagicha yozish mumkin:
u=0,
u= ,
u=1,

Shunday qilib, berilgan dastlabki taqsimot markazlashgan vakuum to'lqinining shakllanishiga olib keladi, uning kengligi vaqt o'tishi bilan chiziqli bo'ladi.

Biz gaz-dinamikasi oqimlarida tez-tez uchraydigan ikkita muamoni o'rganib chiqdik, ular tovushdan yuqori gaz dinamik oqimlarida uchraydi - zarba to'lqinlari va kam uchraydigan to`lqinlar - bu Burgers tenglamasining kuchi bilan modellashtirilishi mumkin. ushbu turdagi o'zgarishlarga boshqa chiziqli bo'lmagan
giperbolik tenglamalar uchun ham mavjud. STN hosilalari holati uchun xususiyatlar. ushbu ikkita muhim holat uchun oddiy analitik yechimlar bilan o`rgangan holda, Byurgersning yopishqoq bo'lmagan tenglamasini yechishning turli xil farq sxemalarini o'rganishga o'tamiz.