Чегаравий масалаларни ечиш усуллари. Режа

Айирмали метод; чизиқли масала
Айирмали методни, энг содда иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенглама учун қўйилган чегаравий масала мисолида қараймиз:

<sub>(1)

(2)</sub>

[a,b] кесамада тўрни қараймиз. Соддалик учун бу турни текис деб ҳисоблаймиз. Иккинчи тартибли ҳосилани ечимнинг тўр нуқталаридаги u_n=u(x_n) қийматлари орқали ифодалаймиз; энг содда

аппроксимациядан фойдаланамиз:

Бундай аппроксимацияни ҳар бир x_n; n=1,2,...,N-1 , ички нуқта учун ёзиш мумкин. Агар буни (1)-тенгламадаги иккинчи тартибли ҳосила ўрнига қўйсак унда тенглама тақрибий бўлиб, уни қидирилаётган u(x) ечим эмас, балки тақрибий ечим қаноатлантиради. Бу алмаштиришни бажариб , p_n=p(x_n), f_n=f(x_n) белгилашларни қабул қилсак

₍₃₎

тенгликларга эга бўламиз. Бу N-1 та алгебраик тенгламадан иборат бўлган системадир. Номаълумлар сони N+1 та , яъни номаълумлар сони тенгламалар сонидан кўпдир. Иккита етмайдиган тенгламани (2)- чегаравий шартлардан ҳосил қиламиз.

₍₄₎

(3) - алгебраик системани ечиб, тақрибий ечимни топамиз.

Бунда учта савол туғилади:

1) (3) – кўринишли системанинг ечими мавжудми?

2) агар ечим мавжуд бўлса, уни қандай топиш керак?

3) u(x) ечимга исталганча яқин бўлган y(x) тақрибий ечимни топиш иложи борми?

Энг аввал айирмали ечимнинг мавжудлигини текширамиз.

p(x)>0 деб талаб қиламиз. (1)-масала чизиқли бўлганлиги учун, айирмали аппроксимация ҳам чизиқли бўлди. Шунинг учун (3)- система чизиқли алгебраик тенгламалар системасидан иборат бўлди. p_n>0 бўлганлиги учун, бу системанинг матрицаси диагонал элементлари абсолют қиймати шу элемент турган сатрдаги бошқа элементлар абсолют қийматлари йиғиндисидан катта бўлади. Бундай системанинг ечими мавжуд ва ягона бўлиши маълум.

Системанинг матрицаси уч диагоналли бўлганлиги учун уни прогонка усули билан ечиш самарали.

µуйидаги теорема ўринли.