Chiziqli algebra, matematik tahlil va matematik fizika masalalarini taqribiy yechishning maxsus usullari

CHIZIQLI ALGEBRA, MATEMATIK TAHLIL VA MATEMATIK FIZIKA MASALALARINI TAQRIBIY YECHISHNING MAXSUS USULLARI
REJA:

1 CHIZIQLI ALGEBRA, MATEMATIK TAHLIL VA MATEMATIK FIZIKA MASALALARI.

2 MASALALARINI TAQRIBIY YECHISHNING MAXSUS USULLARI.
3 CHIZIQLI ALGEBRA, MATEMATIK TAHLIL VA MATEMATIK FIZIKA MASALALARINI TAQRIBIY YECHISHNING MAXSUS USULLARI.

O’zgaruvchi qiymatlarni o’rganish bir o’zgaruvchi qiymatni boshqalardan bog’langanligini o’lchash funkstiya qiymatini aniqlashga olib keladi. O’zgaruvchi qiymatlar o’rtasidagi bog’lanish matematikada funkstional tenglamalar ko’rinishida ifodalanadi. Masalan, ikki o’zgaruvchining funkstional bog’lanishi tenglamasi umumiy ko’rinishda quyidagicha bo’ladi: , bunda - argument ning funkstiyasi hisoblanadi. Funkstional tenglamalarga, mohiyati bilan, differenstial va integral tenglamalar kiradi.

Modellashtirish usuli tanlangandan so’ng hisoblash texnikasi yordamida modelni tadqiq etish uchun texnik va dasturiy vositalar tanlanadi. Dasturiy vositalar sifatida prosteduraga mo’ljallangan algoritmik tillar, muammoga- mo’ljallangan tillar yoki modellashtirish avtomatlashtirilgan tizimlardan foydalanish mumkin.
Modellarni tadqiq etish uchun universal yoki ixtisoslashtirilgan hisoblashtizimlaridan foydalanish mumkin. Universal hisoblash tizimlari yordamida analitik modellashtirishni amalga oshirish uchun texnik vositalarga katta talablar qo’yilmaydi. Imitastion modellashtirishda foydalaniladigan universal hisoblashtizimlariga qo’yiladigan asosiy talablar bu kattahajmdagi etarli bo’lgan tezkor xarakterdir. Buning sababi shundan ibratki, modelni tajriba o’tkazishda har doim element parametrlariga almashib ketma-ket murojat etiladi va shuning uchun ularni hammasi tezkor xotirada saqlanishi mumkin.

Mashinada modellarni yaratish jarayonini soddalashtirish va tezlashtirish harakati imitastion modellarni dasturlashni avtomatlashtirilgan tizimlariga olib keladi. Tadqiqotchini dasturlashdan ozod qilgan bir necha tizimlar ishlab chiqiladi. Dastur avtomatik ravishda biror-bir formal sxema asosida yaratiladi. Formal sxema tadqiqotchi tomonidan berilgan tizim parametlari, tashqi ta’sirlar va ishlash xususiyatiga ko’ra ishlab chiqiladi. Dastlabki ma’lumotlar u yoki bu kanonik tasvirlanadi. Mashinada o’tkazilgan tajriba natijalari asosida asosiy chiqish ma’lumotlari hisoblanadi va avtomatik bosmaga chiqariladi, qo’shimcha chiqish natijalari esa tadqiqotchi ko’rsatmasi bo’yicha olinadi. Bunday tizimlar avtomatlashtirilgan universal imitastion modellar yoki imitastion dasturlar generatori deyiladi. Modellashtirishni dasturiy va texnik vositalari bir necha mezonlarni hisobga olgan holda tanlanadi. Unda zaruriy shartlardan biri bu - konsteptual va matematik modelni yaratish uchun vositalarni etarli va to’labo’lishligidir.

Modellashtirish tilini tanlagandan so’ng dasturiy modelni ishlab chiqiladi. Bu jarayon quyidagilarni o’z ichiga oladi: algoritmni ishlab chiqish, kirish ma’lumotlarini tasvirlash shaklini aniqlashtirish, dasturni yozish va to’g`rilash. Bu juda muhim ko’p mehnat talab qiluvchi jarayon bo’lib, boshqa dasturlash jarayonlarda kam farqlanadi.
Umuman, modellashtirish natijalari tizimni ishlash qobiliyati haqida echim qabul qilish uchun, eng yaxshi loyiha variantini tanlash uchun yoki tizimni optimallashtirish uchun ishlatiladi. Tizimni ishlash qobiliyati asosan parametrlarni mumkin bo’lgan ixtiyoriy qiymatlari chegaralari doirasidan uning xarakteristikalari chiqishi yoki chiqmasligi bo’yicha echim qabul qilinadi. Hamma ishga yaroqli bo’lgan variantlar bo’yicha samaradorlik kriteriyasi maksimal qiymat qabul qiluvchi variant tizim tanlab olinadi. Eng umumiy va murakkab bu tizimni optimallashtirishdir: tizim parametrlari o’zgaruvchilari qiymatlarini shunday to’plamini topish talab etiladiki, bunda samaradorlik kreteriyasining maksimal qiymatini ta’minlasin.
Biz ko’rayotgan chiziqli programmalash masalasi birinchi navbatda iqtisodiy masalalarda, resurslar taqsimoti va ulardan foydalanishning optimal usullarini izlashda yuzaga keldi. Bunday masalalarda o‘zgaruvchilar soni juda ko‘p bo‘lishini e’tiborga olish zarur. Shuning uchun ham ularni yechish algoritmlarini zamonaviy hisoblash texnikasisiz amalga oshirish qiyin.
Shunday masalalardan biri transport masalasidir. Shaharda 2ta un ombori va 2ta non zavodi bor. Har kuni birinchi ombordan 50t, ikkinchi ombordan esa 70t un olib chiqib ketiladi. Bu unlar non zavodlariga olib boriladi, bunda, birinchi zavod 40t, ikkinchi zavod 80t un qabul qiladi. Unni ixtiyoriy ombordan ixtiyoriy zavodga olib borish mumkin. faraz qilaylik, birinchi ombordan birinchi zavodga 1t un olib borish 1,2 so‘m, birinchi ombordan ikkinchi zavodga – 1,6 so‘m, ikkinchi ombordan birinchi zavodga – 0,8 so‘m, ikkinchi ombordan ikkinchi zavodga – 1 so‘m bo‘lsin. Yuk tashishni narxi minimal bo‘ladigan qilib rejalashtirish lozim.
Endi masalaga matematik ko‘rinish beraylik. Birinchi ombordan zavodlarga olib boriladigan un miqdorini mos ravishda x1 va x2 bilan, ikkinchi ombordan birinchi va ikkinchi zavodlarga olib boriladigan un miqdorini esa mos ravishda x3 va x4 bilan belgilaymiz. xi (i=1, 2, 3, 4) lar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.1) sistemaning birinchi ikki tenglamasi har bir ombordan olib chiqiladigan un miqdorini bildiradi, keyingi ikkita tenglama esa har bir zavodga keltiriladigan un miqdorini bildiradi. (1.1.2) tengsizlik zavodlardan omborlarga un qaytarilmasligini bildiradi. Yuk tashishlarning umumiy narxi quyidagi formuladan aniqlanadi
irilgan sxemada iqtisodiy-matematik usullarning umumlashtirilgan guruhlari ifodalangan bo’lib, bu guruhlardagi ba’zi bir usullardan turli iqtisodiy masalalarni echishda foydalaniladi.
Xo’jalik faoliyatini tahlil qilishda qo’llaniladigan usullarni balansli va omilli guruhlarga ajratish katta ahamiyatga ega. Balans usullari – bu tarkib, proporstiya, nisbatlarni tahlil qilish usulidir.
Iqtisodiy tahlilda o’rganilayotgan hodisalar asosan matematika va boshqa matematik vositalar yordamidagi modellardan foydalaniladi.
hosilali tenglamalar nazariyasida sifatli usullar qo’llaniladi, lekin unchalik katta darajada emas. Misol sifatida xususiy hosilali tenglamalarga asoslangan matematik modellarni sifatli o’rganishga imkon beruvchi ikkinchi tartibli parabolik hamda elleptik tenglamalarning maksimum tamoyilini qayd etib o’tish mumkin.
Aniq yoki taqribiy echim analitik hamda sonli usullar bilan topiladi. Bunga aloqador ravishda analitik usullarning klassik misollari orasida o’zgaruvchilarni bo’lish, matematik fizikaning chiziqli masalalarini integral almashtirish usullarini ajratib ko’rsatamiz.
Chiziqli bo’lmagan matematik modellar uchun chiziqlashtirish usullari, chetlanish usullarining har xil variantlari muhim ahamiyat kasb etadi. Chetlashishlar nazariyasi ajratilgan kichik parametr bo’yicha asimptotik yoyishlarga asoslanadi. Bu usullarga, ularning cheklanganligiga qaramay, singulyar chetlashish masalalarini ko’rib chiqishga alohida e’tibor qaratiladi.
Chiziqli bo’lmagan echimning sifatli hatti - harakati ma’lum bir hususiy echimlar bilan almashtirilishi mumkin. Chiziqli bo’lmagan masalalarning xususiy echimlarini qidirish avtomodelli o’zgaruvchilardan foydalanishga, matematik model zamirida yotgan tenglamalarni guruhli tahlil etish natijalariga asoslanadi.
Murakkab, ko’p parametrli modellar kompyuterda sonli usullar bilan o’rganilishi mumkin. Analitik echimdan farqli o’laroq (u echimning masalaning u yoki bu shartiga parametrli bog’liqligini ko’rsatadi), sonli usulda u yoki bu
masalalari uchun chiziqli approksimastiya topilib ularni chiziqli programmalash usullarini qo’llab yechish mumkin.
Bazi iqtisodiy jarayonlar vaqtga boliq bo’ladi. Bunday masalalarning turli bosqichlaridagi yechimini aniqlash uchun dinamik programmalash usullari qo’llaniladi. Masalan, planlashtirilayotgan davrning har bir yilida korxonalararo vositalarni optimal taqsimlash masalasi dinamik programmalash masalasiga misol bo’la oladi.
Har qanday iqtisodiy masalani matematik dasturlash usullarini qo’llab yechishdan avval, ularning matematik modelini tuzish kerak; boshqacha aytganda berilgan iqtisodiy masalaning chegaralovchi shartlarini va maqsadini matematik formulalar orqali ifodalab olish kerak. Har qanday masalaning matematik modelini tuzish uchun:
-masalaning iqtisodiy ma`nosini o’rganib, undagi asosiy shart va maqsadni aniqlash;
-masaladagi noma`lumlarni belgilash;
-masalaning shartlarini algebraik tenglamalar yoki tengsizliklar orqali ifodalash;
-masalaning maqsadini funksiya orqali ifodalash kerak.
Misol uchun bir nechta eng sodda iqtisodiy masalalarning matematik modelini tuzish jarayoni bilan tanishamiz.
Ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasi.
Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin; ulardan ixtiyoriy birini i (i=1,…,m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,…,n) bilan belgilaymiz.
Har bir ishlab chiqarish faktorining umumiy miqdori va bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan normasi quyidagi jadvalda berilgan:
2.1.1-jadval

i/ch faktorlari i/ch mahsulot Turlari	1	2	3	…	n	Daro-mad
1	a11	a12	A13	…	a1n	C1
2	a21	a22	A23	…	a2n	C2
…	…	…	…	…	…	…
M	am1	am2	am3	…	amn	Cm
i/ch faktorining zahirasi	b1	B2	B3	…	bn

Jadvaldagi har bir b_j – j‑ishlab chiqarish faktorining umumiy miqdori (zahirasi)ni; a_ij – i‑mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j-faktorning miqdori; c_i–korxonaning i‑mahsulotning bir birligini realizatciya qilishdan oladigan daromadi.
Masalaning iqtisodiy ma`nosi: korxonaning ishini shunday rejalashtirish kerakki: a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning umumiy miqdoridan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatciya qilishdan korxonaning oladigan daromadi maksimal bo’lsin.

(2.1.1)
Rejalashtirilgan davr ichida ishlab chiqariladigan i-mahsulotining miqdorini x_i bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi:



Masalaning iqtisodiy ma`nosiga ko’ra hamma noma`lumlar manfiy bo’lmasligi kerak, ya`ni: