Chiziqli algebraik tenglamalar

Teorema. Agar (6.4.2) sistema uchun



^{ }ij j 1
^{ 1} yoki



^{ }ij i1
^{ 1} shartlardan

birontasi bajarilsa, u holda (6.4.4) iteratsiya jarayoni boshlang’ich yaqinlashishni

tanlashga bog’liq bo’lmagan holda yagona echimga yaqinlashadi.
Natija. Agar (6.4.1) tenglamalar sistemasi uchun

_^|a_ij ^{|| a}₁₁ ^|,
i1 j 2




j 2
j 1
^{| a}_{2 j} ^{|| a}₂₂ ^|, ...,



_| a_nj || a_nn |
j n j 1

tengsizliklar bajarilsa, u holda iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi.

Misol. Ushbu


_4x₁  0,24x₂  0,08x₃  8
_0,09x₁  3x₂  0,15x₃  9
^0,04x  0,08x  4x  20
 1 2 3
sistemani =0,001 aniqlikda iteratsiya usuli bilan eching.
Echish: Sistema koifisientlari uchun

0,24   0,08  0,32 
0,09   0,15  0,24 
^a11 ^a22
 4




 3^

0,04  0,08  0,12 
a₃₃  4 _

shart bajariladi. Demak, yuqorida keltirilgan teoremaga asosan iteratsiya jarayoni yaqinlashadi. Yuqoridagi sistemadan


_x₁  2  0,06x₂  0,02x₃

x
_{ 2}  3  0,03x₁
^x  5  0,01x
 0,05x₃ .
 0,02x

 3 1 2
ga ega bo’lib, nolinchi yaqinlashish sifatida
 ²

_X ( 0 ) _{ }
 
 3 ^,
x^{0 }  2, x^{0 }  3, x^{0 }  5,

  1 2 3
₅ 

ni olamiz. U holda ^

matritsa
0

 

 0,06

0,02

α 

ko’rinishga ega bo’ladi.

 0,03
 0,01
0
0,02
0,05
0

(5.4.9) formula yordamida hisoblashlarni bajaramiz:

X ^1  β  αX ^0 
1,92

1
3,19 ,
5,04



2

3

x

,
1,90


x^1  1,92; x^1  3 ^0

X ^{2 }    X ^1
2  1
 1,9094; x^{2 }
 3,1944; x^{2 }
 5,0446.

X ^3    X ^{2 }
1,909



1
, x^3  1,90923; x^3  3,19 ^3

Natijada ushbu jadvalni hosil qilamiz:

Yaqinla- shishlar( ^k)	x	x2	x3	xk   xk 1 1 1	xk   xk 1 2 2	xk   xk 1 3 3
0	2	3	5	-	-	-
1	1,92	3,19	5,04	0,08	0,19	0,04
2	1,9094	3,1944	5,0446	0,0106	0,0044	0,0046
3	1,90923	3,19495	5,04485	0,00017	0,00055	0,00025

Bu erda
_x3 _{ x}2 


^{ 0,00017  } ,


_x3 _{ x}2 


^{ 0,00055  } ,


_x3 _{ x}2 


 0,00025  

1 1 2 2 3 3

shartlar bajariladi. Demak,
_{X  X} ( 3 )
berilgan chiziqli algebraik tenglamalar

sistemasining =0,001 aniqlikdagi taqribiy echimi bo’ladi.
Tenglamalar sistemasini iteratsiya usulida echish uchun tuzilgan dastur matni:
label 1,2;
const n=3; { tenglamalar soni } type
matrisa=array[1..n,1..n] of real; vektor=array[1..n] of real;
var
a,a1:matrisa; x,x0,b,b1:vektor; eps,s:real; i,j,k:integer;
begin clrscr;
for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin

end;
write('a[',i:1,',',j:1,']='); read(a[i,j]) end;
{Sistema koifisientlarini kiritish} write('b[',i:1,']='); read(b[i]);

eps:=0.0001; { Echish aniqligini berish} for i:=1 to n do begin
b1[i]:=b[i]/a[i,i];
for j:=1 to n do a1[i,j]:=-a[i,j]/a[i,i] end;
for i:=1 to n do begin
x0[i]:=b1[i]; a1[i,i]:=0;
end;
2: for i:=1 to n do
begin
s:=0.0;
for j:=1 to n do s:=s+a1[i,j]*x0[j]; x[i]:=b1[i]+s;
end;
k:=0;
for i:=1 to n do if abs(x[i]-x0[i])
then begin k:=k+1; if k=n then goto 1 end
else begin for j:=1 to n do x0[j]:=x[j]; goto 2 end; 1: writeln('Sistemaning taqribiy yechimi:');
for i:=1 to n do writeln('x[',i:1,']=',x[i]:8:6); end.

4. Zeydel usuli

Bu usul algoritmini quyidagi tenglamalar sistemasini echishda ko’rib chiqamiz:

^{ a}11 ^x1 ^{ a}12 ^x2 ^{ a}13 ^x3
 b₁ ,

a


a


^ 21 ^x1
 a₂₂ x₂
 a₂₃ x₃
 b₂ ,

Bu sistemani
 ^{31 x1}
 a₃₂ x₂
 a₃₃ x₃
 b₃ .

_ x₁  x₁  a₁₁ x₁  a₁₂ x₂  a₁₃ x₃  b₁ ,

x

 x


^ 2 2
 a₂₁ x₁
 a₂₂ x₂
 a₂₃ x₃
 b₂ ,

x

 ^3
  x₃  a₃₁ x₁  a₃₂ x₂  a₃₃ x₃  b₃ .

ko’rinishda yozib olamiz. Noma’lumlarga iхtiyoriy ravishda dastlabki:
_{x  x}(0) _,

1 1

_{x  x}⁽⁰⁾ _{, x  x}(0)
qiymatlarini beramiz. Bu qiymatlarni birinchi tenglamaning

2 2 3 3

o’ng tamoniga qo’yib ^x₁
uchun birinchi yaqinlashishni hosil qilamiz:

1

1

1

2

3
x⁽¹⁾  x⁽⁰⁾  a₁₁x⁽⁰⁾  a₁₂ x⁽⁰⁾  a₁₃ x⁽⁰⁾  b_{1 .}

_{x  x}(1) _{,
x  x}(0) _{,
x  x}(0)
larni ikkinchi tenglamaga olib borib ^x
uchun

1 1 2 2 3 3 2

birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

_{x  x}(1) <sub>,


x  x</sub>(1) <sub>,


x  x</sub>(0)
.
larni uchinchi tenglamaga olib borib ^x
uchun

1 1 2 2 3 3 3

birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

SHu bilan birinchi iteratsiya jarayoni tugallanadi. Keyingi iteratsiya jarayonlari хuddi shu kabi davom ettiriladi. k- yaqinlashishni quyidagicha yozish mumkin:

_x(k ) _{ x}(k 1) _{ a
x}(k 1) _{ a
x}(k 1) _{ a
x}(k 1) _{ b ,}

1 1 11 1
12 2
13 3 1

_x(k ) _{ x}(k 1) _{ a x}(k ) _{ a
x}(k 1) _{ a
x}(k 1) _{ b ,}

2 2 21 1
22 2
23 3 2

_x(k ) _{ x}(k 1) _{ a x}(k ) _{ a
x}(k ) _{ a
x}(k 1) _{ b .}

3 3 31 1
32 2
33 3 3

1
_x(k ) _,
x(k ) _,
(k ) 3
larning qiymatlari
_x(k 1) _,
x(k 1) _,
(k 1) 3
larning qiymat-lariga

2

1

2

x

x
berilgan aniqlikga erishguncha iteratsiya jarayoni davom ettiriladi.
Umumiy holda, ya’ni tenglamalar soi n ta bo’lganda, bu usul hisoblash formulasi quyidagi

_x(k) _{ x}(k 1 ) _ ^{ i 1} _a
x(k) _
ⁿ _{a x}(k 1 ) ^ _{ b .}

i i ^{ } ij j ^ ij j ^ i
_ j 1 j i _
ko’rinishga ega bo’lib, uning yaqinlashish sharti, ketma-ket yaqinlashish usuli yaqinlashish sharti bilan bir хil bo’ladi.