Chiziqli tenglama deb

Kramer usuli.

Ikkita chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

sistema ikki x va y noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda

^a11^{, a}12 ^{, a}21^{, a}22

hadlar deyiladi.

sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b₁

va b₂

sonlar ozod

1. 
   sistemaning koeffitsientlaridan ushbu
   

_{ } ^a11

^a21
^a12 ^a22

determinantni, so’ng bu determinantning birinchi ustunidagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib

_{ } ^b1 ^a12
x


^b2 ^a22
determinantni, ikkinchi ustundagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib
_{ } ^a11 ^b1
y

determinantlar hosil qilamiz.

^a21 ^b2

Demak, (1) sistema berilgan holda har doim

bo’lamiz.

1-Teorema. Aytaylik, ushbu


, _x ,  _y

determinantlarga ega

a₁₁xa₁₂ yb₁ ,

a₂₁xa₂₂ yb₂
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar

1. 
   ^{  0 bo’lsa, u holda (2) sistema yagona}  ^{x, y} ^{yechimga ega bo’lib,}
   

х  ^х , у  ^{ у}

bo’ladi;

2)

  0

bo’lib,
_x  0,

 

 _y  0 bo’lsa, u holda (2) sistema yechimga ega

bo’lmaydi;

3)

bo’ladi.

  _x

  _y

 0 bo’lsa, u holda (2) sistema cheksiz ko’p yechimga ega

◄ (2) sistemaning birinchi tenglamasini ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:

^a22

ga, ikkinchi tenglamasini – a₁₂ ga

ya’ni
Keyingi tenglikdan

a₁₁a₂₂ x  a₁₂ a₂₂ y  a₂₂b₁ ,

a₂₁a₁₂ x  a₁₂a₂₂ y  a₁₂b₂



^a11^a22 ^{ a}12 ^a21 ^{ x  a}22^b1 ^{ a}12^b2
  х  _х ,

bo’lishi kelib chiqadi.

х  ^{ х}



Shuningdek, (2) sistemaning birinchi tenglamasini – a₂₁ a₁₁ ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:

a₁₁a₂₁ x  a₁₂ a₂₁ y  b₁a₂₁ ,

^a11^a21 ^{x  a}11^a22 ^{y  b}2 ^a11



^a11^a22 ^{ a}12 ^a21 ^{ у  a}11^b2 ^{ a}21^b1^.

ga, ikkinchi tenglamasini

ya’ni

Bu tenglikdan

  у   _у ,

bo’lishi kelib chiqadi.

у  ^{ у}



Shunday qilib berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi

_  х   _х

^  у  

_ у

ko’rinishga kelib, sistema

  0 bo’lganda yagona yechimga ega bo’lib,

х  ^х , у  ^{ у}

 

bo’ladi.

Shunga o’xshash

  0

bo’lganda sistema yechimga ega bo’lmasligi,

  _х

  _у  0

bo’lganda

sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’lishi ko’rsatiladi. ►

1. 
   misol. Ushbu
   

sistema yechilsin.

◄Bu sistema uchun

, _x ,  <sub>y

</sub> 2x  3y  1

_3x  5 y  4


larni topamiz:

_{ } 2 3

3 5

 10  9  1,

_x 

^{1 3}  5 12  7,

4 5

 _y 

^{2 1}  8  3  5.

3 4

Demak,

bo’ladi. ►

2. 
   misol. Ushbu
   

х  ^х



 ^7  7, 1

у  ^{ у}



 ⁵  5

1

sistema yechilsin.

_5x  2 y  4,

^0,35x 1,14 y  2


◄Bu sistema uchun

, _x ,  _у

larni topamiz:

  ⁵

0,35

2

0,14

^{ 5 } ^0,14 ^{ 0,35 } ^2 ^{ 0, 7  0, 7  0}

4

 _х  ₂

2

0,14

^{ 4 } ^0,14 ^{ 2 } ^2 ^{ 0,56  4  0.}

Demak, berilgan sistema yechimga ega emas. ► Uchta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

_ a₁₁ x  a₁₂ y  a₁₃ z  b₁ ,



_ a₂₁ x  a₂₂ y  a₂₃ z  b₂ ,

2. 
   (3)
   

_^ a₃₁ x  a₃₂ y  a₃₃ z  b₃ ,

sistema uchta x, y va z noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda

^a11^{, a}12 ^{, a}13 ^{, a}21^{, a}22 ^{, a}23 ^{, a}31^{, a}32 ^{, а}33

sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari,

b₁,b₂ ва b₃

sonlar ozod hadlar deyiladi.

( 3) sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi

^a11

  a₂₁

^a31

^a12 ^a22 ^a32

^a13 ^a23 ^a33

uchinchi tartibli determinantni hosil qilamiz. So’ng bu determinantning birinchi,

ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirib quyidagi determinantlarni tuzamiz:

b₁

_х  b₂

b₃

^a12 ^a22 ^a32

^a13 a₂₃ ,

^a33

^a11 ^b1

 _y  a₂₁ b₂

^a31 ^b3

^a13 a₂₃ ,

^a33

^a11

 _z  a₂₁

^a31

^a12 ^a22 ^a32

b₁ b₂ . b₃

Demak, (3) sistema berilgan holda har doim

bo’lamiz.

2. 
   Teorema. Faraz qilaylik,
   

, _x ,  _y , _z

determinantlarga ega

_ a₁₁ x  a₁₂ y  a₁₃ z  b₁ ,



_ a₂₁ x  a₂₂ y  a₂₃ z  b₂ ,

_^ a₃₁ x  a₃₂ y  a₃₃ z  b₃ .

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar

^{1)   0 bo’lsa, u holda (3) sistema yagona}  ^{x, y, z}

yechimga ega bo’lib,

х  ^х , у  ^{ у} , z  ^z

  

bo’ladi;

2)

  0

bo’lib,

_x  0,  _y
 0bo’lsa, u holda (3) sistema yechimga ega

bo’lmaydi;

3)

bo’ladi.

  _x

  _y

 _z  0

bo’lsa, u holda (3) sistema cheksiz ko’p yechimga ega

◄Bu teoremaning isboti 2–teoremaning isboti kabidir. ►

2. 
   misol. Ushbu
   

tenglamalar sistemasi yechilsin.

_2x  3y  z  5,

^ x  y  2z  7,



^_ 2x  y  z  1

◄Avvalo sistema koeffitsientlaridan tuzilgan  determinantni hisoblaymiz:

2 3 1

  1 1 2  2 12 1  (2)  (4)  3  18 .

2 1 1

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Endi hisoblaymiz:

_х ,  _у , _z

determinantlarni

5 3 1

_x 

7 1 2

^{ 5  6  7 } ^1 ^ ^10 ^{ 21  8,}

1 1 1

		2	5	1
	 y 	1	7	2	^^14^^20^^1^^^14 ^^4^^5^^38,
		2	1	1
	z 	2 1	3 1	5 7	^^2^^42^^5^^10^^^14 ^^3^^40^.
		2	1	1
Unda

х  ^х  ⁸  ⁴

bo’ladi. ►



у  ^{ у}



z  ^z



18 9

_ 38 _ 19

18 9

_ 40 _ 20

18 9

Yuqorida keltirilgan tenglamalar sistemasining yechimini topish usuli Kramer usuli deyiladi.

Shu usul bilan n ta chiziqli tenglamalardan tuzilgan n ta tenglamalar sistemasi

х₁, х₂ ,

noma’lumli

_ a_n x₁  a₁₂ x₂   a_1n x_n  b₁ ,

_ a₂₁ x₁  a₂₂ x₂   a_1n x_n  b₂ ,

^ ..............................................


ni ham yechish mumkin.

^{ a}n1 ^x1 ^{ a}n 2 ^x2 ^

 b_n ,

Chiziqli tenglamalar sistemasining Gauss usuli

Biz endi chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish bilan yechim topildi.

Bu usulni ko‘rishdan avval biz kengaytirilgan matritsa usulini ko‘rib chiqamiz.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

Biz hozir berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi qanday qurilishini ko‘rsatamiz. Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Kengaytirilgan matritsani qurish uchun noma’lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsaning o‘ng tomoniga ozod hadlardan tuzilgan yangi ustun qo‘shiladi. Usulning asosiy goyasi berilgan sistemani unga teng kuchli bo‘lgan, lekin yechish oson bo‘lgan sistema bilan almashtirib, keyin hosil bo‘lgan sistemani yechishdan iborat. Yangi sistema odatda quyidagi amallarni bajarish natijasida bo‘ladigan bir nechta qadamlardan keyin hosil bo‘ladi:

1. 
   Tenglamani 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   
2. 
   Ikkita tenglamaning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir tenglamaga karrali tenglamani ikkinchisiga qo‘shish.
   

Kengaytirilgan matritsaning satrlari sistemadagi tenglamalarga mos kelgani uchun yuqoridagi uchta amal kengaytirilgan maritsa uchun quyidagicha bo‘ladi:

1. 
   Satrni 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   

2. 
   Ikkita satrning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir satrga karrali satrni ikkichisiga qo‘shish.
   

Bu amallar satrlar ustidaga elementar almashtirishlar deyiladi. Quyidagi misolni Yechish orqali bu amallarni qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.

2. 
   Misol. Quyidagi tenglama berilgan:
   

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

1 – satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shsak:

hosil bo‘ladi.

1 – satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shsak:

bo‘ladi.

2- satr elementlarini ga ko‘paytiramiz:

1. 
   satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shamiz:
   

2. 
   satr elementlarini -2 ga ko‘paytiramiz:
   

1- satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

3- satr elementlarini ga ko‘paytirib 1-satr mos elementlariga qo‘shamiz va ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shamiz:
Demak, sistemaning yechimi x=1, y=2, z=3.

Yechimning kengaytirilgan matritsasidan x=1, y=2, z=3 ekanligi ko‘rinib turadi.

Matritsani bu shaklga keltirish uchun u quyidagi shartlarni bajarishi kerak:

1. 
   Agar 1- satr faqat 0 elementlardan tashkil topmagan bo‘lsa uning 1- elementini 1 ga tenglab olamiz. Buning uchun uning elementlarini a₁₁ ga bo‘lib chiqamiz.
   
2. 
   Agar qandaydir satrlar faqat 0 lardan iborat bo‘lsa bu satrlar matritsaning pastki qismiga joylashtiriladi.
   
3. 
   Elementlari 0 lardan iborat bo‘lmagan ketma-ket kelgan ikkita satrdan quyidagisining 1 ga teng elmenti yuqorisidagining 1 ga teng elementidan 1- ustun chapda joylashgan bo‘ladi.
   
4. 
   1-elementi mavjud ixtiyoriy ustunning boshqa elementlari 0 ga teng bo‘ladi.
   

Endi kengaytirilgan matritsa ko‘rinishidagi quyidagi sistemalarni quraylik.

5. Misol.

O‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdiki bu sistemaning yechimi x =5, y = -2, z =4 bo‘ladi.

5. Misol.

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz:

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x₁, x₂, x₃ mos kelgani uchun ularni bazis elementlar deb ataymiz. x₄ esa erkli noma’lum deb ataladi.

U holda sistemaning yechimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi:



Bundan ko‘rinib turibdiki erkli o‘zgaruvchi x₄ ning o‘rniga ixtiyoriy qo‘ysak bo‘ladi. U holda sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Demak sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.

5. Misol.

Tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching:

_ 3x  y  2z  9

^ x  4 y  z  4 _.



^_2x  3y  3z  11

Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.

_ x  4 y  z  4

^ 3x  y  2z  9 _.



^_2x  3y  3z  11

Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:

_ x  4 y  z  4

^ 13y  z  3 _.



^_  11y  z  3

2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:

_ x  4 y  z  4

^ 13y  z  3 _.



_^  24 y  0

Oxirgi tenglamadan

у  0

ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga

qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z=3, x= 1.

Shunday qilib, x = 1, y = 0, z = 3.

Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasinini qaraylik
va quyidagicha belgilashlar kiritaylik:

matritsaviy tenglama ko‘rinishida quyidagicha yozish mumki



AX = B.

^{Faraz qilaylik} А ^{- xosmas matritsa bo‘lsin, u holda unga teskari}

mavjud bo‘ladi. (5) tenglamaning har ikki tomonini

A^{1 ga chapdan ko‘paytiraylik.}

A^1 AX  A^1B.

Ma’lumki

A^1 A  E, u holda

EX  A^1B ,

EX  X

ekanligidan

X  A^1B.

Shunday qilib, (5) – matritsaviy tenglamaning yechimi, А matritsaga teskari matritsaning (4) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun matritsaga ko‘paytmasiga teng ekan.