Chiziqli tenglamalar

Misol. Matritsaning rangini hisoblang

Yechish: Berilgan matritsaning birinchi satr elementlarini 2 ga bo`lib, ushbu ekvivalent matritsani hosil qilamiz:

Matirtsaning ikkinchi va uchinchi satrlaridan uning mos ravishda 3 va 5 ga ko`paytirilgan birinchi satrlarini ayirib, ushbu matritsani hosil qilamiz. (Satrlarni (ustunlarni) ayirish deganda bu satrlarning (ustunlarning) tegishli elementlarini ayirish ko`zda tutiladi).

_{ } matritsaning uchinchi satridan 3 ga ko`paytirilgan ikkinchi satrini ayirib,

matritsani hosil qilamiz. _{ } matritsada nollardan iborat satrni tashlab yuborib,

matritsani hosil qilamiz, uning rangi 2 ga tengligi ravshan. Demak, berilgan matritsaning rangi ham 2 ga teng.

Asosiy tushunchalar va ta`riflar.

Ko`p tadbiqiy masalalar shu jumladan iqtisodiy masalalar chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Shuning uchun bunday sistemalarni o`rganish muhim ahamiyatga ega. Chiziqli tenglamalar sistemasi ikki turli bo`ladi:
1. Bir jinsli bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi; 2. Bir jinsli sistemasi chiziqli tenglamalar sistemasi
Avvalo bir jinsli bo`lmagan tenglamalar sistemalarni o`rganamiz. Bunday sistemalar quyidahicha yoziladi:
<sub> </sub> (1)
bunda <sub> </sub>, i=1,2,...,n sonlar sistema koeffitsiyentlari <sub> </sub>, i=1,2,...,k sonlar ozod hadlar yoki sistemaning o`ng tomoni deb ataladi. (1) sistemani qisqacha ushbu

ko`rinishda yozish mumkin. (1) sistemaning yechimi deb n ta sonlarning shunday majmuasiga aytiladiki, ularni (1) sistemaga qo`yganda har bir tenglama to`g`ri tenglikka aylanadi.
Agar tenglamalar sistemasi hech bo`lmaganda bitta yechimga ega bo`lsa, bu sistema birgalikda, yechimga ega bo`lmasa, birgalikda emas deyiladi.
Agar tenglamalarning ikkita sistemasi bir xil yechimga ega bo`lsa, ular teng kuchli yoki ekvivalent sistemalar deyiladi.
Tenglamalar sistemasini yechish deyilganda uning barcha yechimlarini topishni yoki yechimga ega emasligini ko`rsatishni tushunamiz. Ma`lumki, maktabda chiziqli sitemalarni yechishning ikki usuli : 1.o`rniga qo`yish; 2.algebraik qo`shish usullari o`rganiladi.
O`rniga qo`yish usuli umumiy holda Gauss usuli ham deb ataladi. Mazkur ishda ulardan tashqari teskari matritsa usuli, Kramer formulalaridan foydalanish usullarini ham ko`rib o`tamiz.
2§ Gauss usuli (Noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish usuli)
Bu usul noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish yordamida berilgan sistemaga ekvivalent bo`lgan zinapoyasimon (xususiy holda uchburchak) shaklidagi sistemaga keladi. Zinapoyasimon sistema deb,
<sub> </sub> (1)
ko`rinishdagi sistemaga aytiladi, bu yerda k ≤n, _{ }, i=1,2,...,k
Agar k=n bo`lsa, u holda (1) sistema uchburchak shaklida bo`ladi.