Chjimin Guo matematika va axborot fanlari maktabi, ÿ Muallif: Zhiming Guo

u¯x(t, 0) ÿ 0, y¯x(t, 0) ÿ 0,
ÿ1 = {(t, x) : t > 0, x ÿ [0, h(t)]}.
h(0) ÿ h0, 0 < u(0, x) ÿ u0(x) va 0 < y(0, x) ÿ y0(x) [0 , h(0)] da.
t > 0,
t > 0,
y(t, h(t)) = 0,
0 < u, u
¯ ÿ M1 va 0 < y, y ¯ ÿ M2
t > 0,
va er-xotin (u, h) qanoatlantiradi
u ÿ u¯ & y ÿ y¯ barcha t ÿ 0 va 0 ÿ x ÿ h(t) uchun,
Lemma 3.2. h¯ va h ikkita pozitiv C1 ([0, +ÿ)) funksiyalar ([0, +ÿ) da h, h > 0 ) bo'lsin.
va er-xotin (y, h) qanoatlantiradi
tomonidan belgilang
M1+a ,
¯h(0) ÿ h0, u¯(0, x), y¯(0, x) ÿ 0 [0 , h¯(0)] da
t > 0, 0 < x < ¯h(t),
yx (t, 0) ÿ 0,
(12)
t > 0
t > 0,
¯ ¯h)
qanoatlantiradi va bu (¯u, y,
va
t > 0,
ÿ
u ÿ u & y ÿ y barcha t ÿ 0 va 0 ÿ x ÿ h(t) uchun.
t > 0.
ÿ = (t, x) : t > 0, x ÿ [0, h¯(t)]
ÿ
y¯t ÿ Dy¯xx ÿ ky¯ 1 ÿ
va
t > 0, 0 < x < ¯h(t),
u(t, h(t)) = 0,
(13)
ÿ C1,2 (ÿ) va u, y ÿ C(ÿ¯ 1) ÿ C1,2 (ÿ1). Faraz qilaylik, ¯ y¯ ÿ C(ÿ)
u¯(t, ¯h(t)) = ¯y(t, h¯(t)) = 0,
),
U holda (4) ning yechimi (u, y, h ) qanoatlantiriladi
(t) ÿ ÿµrx (t, h(t)),
t > 0,
ut - uxx ÿ u(1 - DM2 - u), ux (t,
0) ÿ 0,
ÿ
t > 0, 0 < x < h(t), t >
0,
u¯t ÿ u¯xx ÿ u¯(1 - u¯),
Lemma 3.2 isboti [7] ning Lemma 5.1, Lemma 4.1 va [13] ning Lemma 4.2 isbotlariga juda oÿxshaydi.
Shuning uchun biz bu erda tafsilotlarni o'tkazib yuboramiz.
va
[0, h0] da u¯(0, x) ÿ u0(x) va y¯(0, x) ÿ y0(x) va (12) va
(13) ning dastlabki ma’lumotlari qanoatlantiriladi
(11)
yt ÿ Duxx ÿ ky(1 ÿ
t > 0 0 < x < h(t),
¯h ÿ (t) ÿ ÿµ(¯ux(t, h¯(t)) + rÿ¯x(t, h¯(t))),
ruxsat bering ,
h(t) ÿ h(t) ÿ h¯(t) da [0, +ÿ),
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
¯
Faraz qilaylik, (11) ning dastlabki ma'lumotlari qanoatlantirsin
h
a
y
y¯
'
'
Machine Translated by Google

---

6
Y. Liu, Z. Guo, M. El Smaily va L. Vang
tÿ+ÿ
tÿ+ÿ
'
hÿ < ÿ, u holda M mavjud, barcha t > 0 uchun, shunday qilib u(t, ·)C1[0,h(t)] ÿ M va (t) = 0.
V (t, x) <
lim sup tÿ+ÿ
ÿt - dÿxx ÿ ÿ(a - ÿ),
va agar U(0, x) > 0 da [0, l), u holda
ÿ
lim
tÿ+ÿ
mavjud l > max l,
ÿ
ÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿ
b
ÿ
a
quyidagi lemma.
’ s
ÿ
1+th
,1+th ([0, ÿ)×[0, s(t)]), baÿzi th > 0 uchun . Faraz qilaylik,
barcha 0 uchun s (t) > 0 va ÿ(t, x) > 0 . ÿ t < ÿ va 0 < x < s(t). Yana shuni taxmin qilamiz
ÿ
(16)
d
a
Aksincha, turning yo'qolib borayotgan holatini muhokama qilish uchun biz quyidagi lemmadan
foydalanamiz, bu [13] ning 3.1-taklifi.
p
shundayki, agar uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya V (t, x)
t > 0 va 0 < x < s(t),
U(t, x) >
s(t) = sÿ < +ÿ, lim
(15)
ÿ(t, ·) C[0,s(t)]= 0.
Yuqoridagi lemmaning isbotini o'tkazib yuboramiz, chunki u 4.1-teoremaga o'xshaydi.
va agar V (0, x) > 0 da [0, l), u holda
ÿ e [0, l] da bir xilda .
Lemma 3.6. (u, y, h(t)) (4) ning yechimi bo‘lsin va hÿ = lim ekanligini eslaylik.
(14)
s(0) = s0,
ÿx(t, 0) = 0, ÿ(t, s(t)) = 0, ÿ(0, x) =
ÿ0(x),
Vt ÿ dVxx ÿ V (a ÿ bV ),
t > 0,
x ÿ [0, s0],
s ÿ C 1+ bo‘lsin
Lemma 3.3. M ÿ 0 bo'lsin . Har qanday e > 0 va l > 0 uchun l > max lé, 2 mavjud .
Lemma 3.5 ([13] da 3.1-taklif). d va s0 musbat konstantalar bo‘lsin va a ÿ R bo‘lsin.
a
y(t, ·)C1[0,h(t)] ÿ M. Bundan tashqari, lim
ÿ
lim inf
tÿ+ÿ
Yo'qolgan holatda u va y ning asimptotik xatti-harakatlarini muhokama qilish uchun bizga kerak
Vx(t, 0) = 0, V (t, l) ÿ M,
lim
tÿ+ÿ
Ut ÿ dUxx ÿ U(a ÿ bU),
qanoatlantiradi
'
ÿ
’ s
[16].
(t) = 0 va barcha t > 1 uchun ÿ(t, ·)C1[0,s(t)] ÿ M ,
b
a
h(t). Agar
t > 0, 0 < x < l,
Ux(t, 0) = 0, U(t, l) ÿ M, t > 0,
t > 0,
ÿ
2 ([0, +ÿ)) va ÿ ÿ C
keyin
shundayki, agar uzluksiz va manfiy bo'lmagan funksiya U(t, x) qanoatlantirsa
t > 0,
p
Faraz qilaylik, ÿ0 ÿ C2 ([0, s0]) qanoatlantirsin
h
tÿ+ÿ
0 (0) = 0, ÿ0(s0) = 0 va barcha x ÿ (0, s0) uchun ÿ0(x) > 0 .
2
t > 0, 0 < x < l,
(t) ÿ ÿµÿx(t, s(t)),
Bundan tashqari, bizga [7] va [13] da (mos ravishda 893 va 3388 sahifalarda) keltirilgan quyidagi
lemma kerak.
Lemma 3.4. M manfiy bo'lmagan doimiy bo'lsin. Har qanday berilgan e > 0 va l > 0 uchun u erda
d
ba'zi doimiy M > 0 uchun. Agar ÿ va s funktsiyalari qanoatlansa
+ e [0, l] da bir xilda .
th
2
Machine Translated by Google

---

Erkin chegaraga ega Lesli-Gower modeli
7
'
'
'
'
“
M1+a
'
'
'
"
'
'
(21)
(p) < 0 va V
' h
ÿ(t, 0) = 0,
= 0, x > 0,
a
t > 0, x > 0.
= 0,
t > 0,
Lemma 3.8 ([5] da 4.1 taklifi). Har qanday s ÿ 0 uchun quyidagi masala
V + kV 1 -
t > 0, x > 0,
keyin olamiz
Kerakli lemmani aytishdan oldin, keling, birinchi navbatda quyidagi masalani ko'rib chiqaylik
(bu asl muammoga (4) tegishli. U shuningdek, Lemma 3.8 mavzusi bo'lgan (22) muammoni ham
boshlaydi.)
U
ÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
t > 0,
sV
ÿy
ÿty ÿ Dÿxxy = ky 1 ÿ
ÿ
(t) doimiy sÿ ga yaqinlashadi va ÿ(t, x) musbat V (x) funksiyaga
t ÿ +ÿ sifatida yaqinlashadi, u holda V (x) sÿ = µrV bo‘lgan (22) ning musbat yechimi bo‘lishi kerak.
ÿt - Dÿxx + h
p ÿ R,
ÿ
(p) < 0 barcha p ÿ R uchun.
ÿu
p ÿ R,
(t) = ÿµr ÿxy(t, h(t)),
ÿ
Faraz qilaylik, u(t, x) = U(p) va y(t, x) = V (l), bu yerda p = x ÿst. U holda ( 3.7) ekvivalent bo'ladi
ÿxy(t, 0) = 0,
Agar s ÿ smin = 2 max{1, ÿ Dk} boÿlsa, (18) muammosi shartlarni qanoatlantiradigan yechimni (U, V ) qabul
qiladi.
V
- kV 1 -
t > 0,
V (0) = 0,
lim tÿ+ÿ
bo'lgani uchun
(19)
,
t > 0.
a
= Duxx + ky 1 ÿ
t > 0, 0 < x < h(t),
(t)ÿx = kÿ(1 -
,
(0) = sÿ.
(0).
= uxx + u(1 - u),
Quyidagi lemmadan "asimptotik tarqalish tezligi" (tarqalish sodir bo'lganda) ning pastroq
bahosini berish uchun foydalaniladi. Tezlikni yoyish va yoyish tushunchasi bo'ladi
ÿ
(t) = µr ÿx(t, 0),
Faraz qilamizki, (y, h) (20) va h(t) ÿ +ÿ ning yagona yechimi t ÿ +ÿ. Sozlama
(22)
sUÿ + Uÿÿ + U(1 ÿ U) = 0,
t > 0.
U(ÿÿ) = 1, V (ÿÿ) = M1 + a, U(+ÿ) = V (+ÿ) = 0,
t > 0,
ÿÿÿÿ
ÿÿÿÿ
h
y
ÿ
ÿ
(20)
ÿt
ÿx(t, h(t)) = 0,
+ DV
M1 + a
y
Endi biz lemmani aytamiz.
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
), barcha t > 0 va 0 < x < h(t) uchun,
ÿt
ÿ(t, x) = y(t, h(t) ÿ x),
(18)
keyinroq aniqroq bo'ladi.
h(t) = +ÿ, agar h
a
ÿ
ÿ
sV
(17)
ÿ
noyob ijobiy yechimni tan oladi V = Vs. Bundan tashqari, har bir m, r > 0 uchun noyob sÿ mavjud bo'lib, µrV
uchun
Lemma 3.7. Quyidagi muammoni ko'rib chiqing
y(t, h(t)) = 0,
ÿ DV
sÿ
Machine Translated by Google

---

8
Y. Liu, Z. Guo, M. El Smaily va L. Vang
(26)
(24)
yx(t, 0) = 0 va y(t, l2) ÿ M,
u(T3, x) > 0,
ÿ
Ikki turdagi u va y if muvaffaqiyatli tarqaldi deymiz
,
ÿ
va lim tÿ+ÿ
Lemma 3.4 ni yana qo‘llasak, [0, l] da bir xilda lim sup y(t, x) < u¯1 + a + e ni olamiz. tÿ+ ÿ
e va l ixtiyoriy bo'lgani uchun lim sup tÿ+ÿ
t > T1, 0 < x < l1,
x ÿ [0, l3).
t > T2, 0 < x < l2,
lim
tÿ+ÿ
k
.
l3 > max lé, 2 bo‘lsin
4.2 teorema. Faraz qilaylik (u, y, h(t)) (4) ning yechimi . Agar hÿ = +ÿ bo'lsa, bizda bor
Biz Lemma 2.2 da h
ÿÿÿÿ
lim
tÿ+ÿ
t > T2,
u(t, x) > 0 va lim inf y(t, x) > 0 hÿ = +ÿ,
lim inf
y
ÿ
ut ÿ uxx ÿ u(1 ÿ u) ÿ du(¯y1 + e), t > T3, 0 < x < l3,
ÿÿÿÿ
[0, +ÿ ning har qanday ixcham kichik to'plamida bir xilda ).
ÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿ
ÿÿÿÿ
u(t, ·)C([0,h(t)]) = lim
p
Isbot. Bu teoremaning isbotini ikki bosqichga ajratamiz.
p
. Yuqoridagi xulosadan biz T3 > T2 mavjudligini bilamiz
Endi l2 > max lé, 2 bo‘lsin
(t) > 0 barcha t > 0 uchun. Bu [0, +ÿ) ÿ {ÿ} da h(t)
ni aniqlash imkonini beradi.
u(T1, x) > 0,
bu erda M = max{M1, M2} ((6) va (7) da ko'rinadigan konstantalar). 3.4 Lemmani qo'llash orqali biz
shuni olamiz.
u(t, x) = u
y(T2, x) > 0,
t > T3,
ut - uxx ÿ u(1 - u),
yt ÿ Duxx ÿ ky 1 ÿ u¯1 +
e + a
Bu bizga tarqalish va yo'q bo'lish tushunchalarini quyidagicha aniqlash imkonini beradi.
y(t, x) = y
D
y(t, x) ÿ u¯1 + a =: ¯y1, e va l ning bir
xil ixtiyoriyligi lim sup tÿ+ÿ degan xulosaga kelishimizga imkon beradi.
,
ux(t, 0) = 0, u(t, l1) ÿ M, t > T1,
4.1. Spreading Case
ux(t, 0) = 0, u(t, l3) = 0,
1- qadam. hÿ = +ÿ bo'lgani uchun, har qanday lE uchun T1 > 0 va l1 > 0 mavjud bo'lib , t > T1
bo'lganda l1 > max lé bo'ladi, keyin u 2 ni qanoatlantiradi .
y(t, ·)C([0,h(t)]) = 0.
p
t > T2 va 0 < x < l2 bo'lganda u(t, x) < u¯1 + e bo'lsin. Keyin y qanoatlantiradi
shunday bo'lsinki, t > T3 va 0 < x < l3 bo'lganda y(t, x) < y¯1 + e va u(t, x) > 0 bo'ladi . Keyin sizni qoniqtirasiz
(23)
x ÿ [0, l2).
lim sup u(t, x) < 1 + e [0, l] da bir xilda. tÿ+ÿ
u(t, x) ÿ 1 =: ¯u1 bir xilda [0, +ÿ).
. Oxirgi xulosaga ko'ra, T2 > T1 mavjud
Ta'rif 4.1. Agar hÿ < ÿ va boÿlsa, u va y ikki tur oxir-oqibat yoÿqoladi, deymiz.
ustida [0, +ÿ).
Quyidagi teorema shuni ko'rsatadiki, hÿ = +ÿ muvaffaqiyatli tarqalish uchun etarli:
(25)
x ÿ [0, l1),
4. Tarqalish-yo'q bo'lish dixotomiyasi
tÿ+ÿ
ÿ
tÿ+ÿ
hÿ := lim tÿ+ÿ
ÿ
'
tÿ+ÿ
Machine Translated by Google

---

Erkin chegaraga ega Lesli-Gower modeli
9
y
ut ÿ uxx ÿ u(1 ÿ u) ÿ du(y1 ÿ e), ux(t, 0)
= 0, u(t, l5) = 0, u(T5, x) > 0,
yt ÿ Dyxx ÿ ky(1 ÿ yx(t,